Ricercando Fermat ...
Ricercando Fermat
(cioè l'ultimo teorema di Fermat, volgarmente UTF) mi sono imbattuto in problemi di aritmetica modulare ed in particolare nel seguente caso curioso:
Siano dati due primi \(p\) e \(q\) legati dalla relazione \(q\ =\ kp+1\) mentre \(n\) è un qualsiasi intero compreso tra \(1\) e \(q-1\).
Ora supponendo di operare in aritmetica modulo \(q\) prendiamo in considerazione il termine \(n^{p-1}\) che è ovviamente uguale a \({n^p}/{n}\).
Elevando il tutto alla potenza k-esima abbiamo:
\[\frac{n^{kp}}{n^k}=\frac{n^{q-1}}{n^k}=\frac{1}{n^k}\]
poiché \(n^{q-1}=1\) per il teorema (non ultimo) di Fermat.
Se ora estraiamo la radice k-esima otteniamo \({1}/{n}\). Ma quest'ultima espressione equivale a \(n^{q-2}\).
In definitiva dovremmo poter scrivere che in aritmetica modulo \(q\) si ha:
\[n^{p-1}= n^{q-2}\]
relazione chiaramente errata anche se talvolta casualmente vera.
L'errore nasce a mio avviso dall'elevazione a potenza k-esima seguito dall'estrazione di radice k-esima, che applicata all'unità fornirebbe \(k\) distinte possibilità tra le quali viene presa la più semplice.
Questo mi ha portato a considerare un analogo problema in aritmetica. Consideriamo questo banale esempio:
\[2=\cases{2^{\frac{1}{2}\cdot 2}=(2^\frac{1}{2})^2=2\cr\cr
2^{2\cdot\frac{1}{2}}=(2^2)^\frac{1}{2}=\pm 2}\]
Perché ottengo due risultati diversi? Dov'è l'errore?
Si deve concludere che per il prodotto di due numeri non vale più la proprietà commutativa, se i due numeri compaiono ad esponente?
Sperando nel mio primo post di non aver scritto bestialità saluto gli amici di matematicamente
(cioè l'ultimo teorema di Fermat, volgarmente UTF) mi sono imbattuto in problemi di aritmetica modulare ed in particolare nel seguente caso curioso:
Siano dati due primi \(p\) e \(q\) legati dalla relazione \(q\ =\ kp+1\) mentre \(n\) è un qualsiasi intero compreso tra \(1\) e \(q-1\).
Ora supponendo di operare in aritmetica modulo \(q\) prendiamo in considerazione il termine \(n^{p-1}\) che è ovviamente uguale a \({n^p}/{n}\).
Elevando il tutto alla potenza k-esima abbiamo:
\[\frac{n^{kp}}{n^k}=\frac{n^{q-1}}{n^k}=\frac{1}{n^k}\]
poiché \(n^{q-1}=1\) per il teorema (non ultimo) di Fermat.
Se ora estraiamo la radice k-esima otteniamo \({1}/{n}\). Ma quest'ultima espressione equivale a \(n^{q-2}\).
In definitiva dovremmo poter scrivere che in aritmetica modulo \(q\) si ha:
\[n^{p-1}= n^{q-2}\]
relazione chiaramente errata anche se talvolta casualmente vera.
L'errore nasce a mio avviso dall'elevazione a potenza k-esima seguito dall'estrazione di radice k-esima, che applicata all'unità fornirebbe \(k\) distinte possibilità tra le quali viene presa la più semplice.
Questo mi ha portato a considerare un analogo problema in aritmetica. Consideriamo questo banale esempio:
\[2=\cases{2^{\frac{1}{2}\cdot 2}=(2^\frac{1}{2})^2=2\cr\cr
2^{2\cdot\frac{1}{2}}=(2^2)^\frac{1}{2}=\pm 2}\]
Perché ottengo due risultati diversi? Dov'è l'errore?
Si deve concludere che per il prodotto di due numeri non vale più la proprietà commutativa, se i due numeri compaiono ad esponente?
Sperando nel mio primo post di non aver scritto bestialità saluto gli amici di matematicamente
Risposte
Il secondo risultato è 2, non +/- 2. La radice m-esima, con m pari, di un numero reale positivo e' definita come l'unico numero reale positivo y che elevato ad m da' x.
Dopo aver inviato il messaggio mi sono accorto di aver scritto una emerita sciocchezza, perché quando si eleva un numero intero ad una potenza espressa come frazione (rapporto di due interi), eventualmente ottenuta come prodotto di due o più esponenti, è obbligatorio ridurre ai minimi termini tale frazione proprio per evitare ambiguità. Quindi \(2^{2\cdot\frac{1}{2}} = 2^1 = 2\).
Nel primo esempio l'errore, elevazione a potenza e successiva estrazione di radice, era stato mascherato dall'applicazione tra le due operazioni del teorema di Fermat.
Riguardo a quello che dici non sono del tutto d'accordo perché la radice quadrata di 4 è \(\pm 2\) per la definizione stessa di radice quadrata a meno che non ci si voglia limitare ai soli numeri positivi. Poi per convenzione quando si scrive \(\sqrt{4}\) si intende normalmente il solo valore positivo 2 e si specifica mettendo davanti \(\pm\) quando si vuole comprendere anche \(-2\) come ad es. nella soluzione dell'equazione \(x^2=4\).
Per rispettare il titolo dato a questo thread vorrei aggiungere che pur da dilettante quale sono, salvo errori, credo di essere pervenuto ad una dimostrazione "pratica" (non rigorosamente matematica) comprensibile da tutti del primo caso dell'UTF \((p\nmid xyz)\). Il secondo caso \((p\mid xyz)\) è tutto un altro discorso.
Nel primo esempio l'errore, elevazione a potenza e successiva estrazione di radice, era stato mascherato dall'applicazione tra le due operazioni del teorema di Fermat.
Riguardo a quello che dici non sono del tutto d'accordo perché la radice quadrata di 4 è \(\pm 2\) per la definizione stessa di radice quadrata a meno che non ci si voglia limitare ai soli numeri positivi. Poi per convenzione quando si scrive \(\sqrt{4}\) si intende normalmente il solo valore positivo 2 e si specifica mettendo davanti \(\pm\) quando si vuole comprendere anche \(-2\) come ad es. nella soluzione dell'equazione \(x^2=4\).
Per rispettare il titolo dato a questo thread vorrei aggiungere che pur da dilettante quale sono, salvo errori, credo di essere pervenuto ad una dimostrazione "pratica" (non rigorosamente matematica) comprensibile da tutti del primo caso dell'UTF \((p\nmid xyz)\). Il secondo caso \((p\mid xyz)\) è tutto un altro discorso.
La radice quadrata di $4$ è $+2$ mentre le soluzioni dell'equazione $x^2=4$ sono $x_1=+2$ e $x_2=-2$
4 possiede 2 radici quadrate di cui quella positiva è la principale e si indica con \(\sqrt 4\) o \(4^{1/2}\).
Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Radice_quadrata
Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Radice_quadrata
La radice quadrata di $4$ è unica ed è $+2$, per definizione; se così non fosse, tra le altre cose, l'estrazione di radice quadrata non sarebbe una funzione.
Il fatto che "lo dice Wikipedia" non è una conferma, anzi ... tra l'altro si contraddice da sola quando scrive "... Ogni numero reale maggiore di zero ha due radici quadrate distinte, quella principale e il suo opposto, ovvero $sqrt(x)$ e $-sqrt(x)$ ...", dove, di fatto, dà al simbolo $sqrt(x)$ un unico valore e poi per distinguere le due soluzioni dell'equazione $x=y^2$ le fornisce di segno.
Poi, fai pure come ti pare, però attento quando leggi libri di matematica perché gli autori non la pensano come te ...
Il fatto che "lo dice Wikipedia" non è una conferma, anzi ... tra l'altro si contraddice da sola quando scrive "... Ogni numero reale maggiore di zero ha due radici quadrate distinte, quella principale e il suo opposto, ovvero $sqrt(x)$ e $-sqrt(x)$ ...", dove, di fatto, dà al simbolo $sqrt(x)$ un unico valore e poi per distinguere le due soluzioni dell'equazione $x=y^2$ le fornisce di segno.
Poi, fai pure come ti pare, però attento quando leggi libri di matematica perché gli autori non la pensano come te ...
Nel campo reale cioè la radice vista come una funzione $f: RR^{+} uu {0} \mapsto RR^{+} uu 0$si ha che $\sqrt{4}=+2$ (per uso comune), nel campo complesso la radice viene vista come una funzione $f: CC \mapsto CC^2$ e quindi $\sqrt{4}$ ha come soluzione ${+2,-2}$.
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