Ricerca in Algebra
Salve a tutti avrei una domanda per i più esperti.
Premetto che sono studente della triennale all'università di matematica e parlo da neofita della materia.
La mia domanda è questa: cosa "succede" nell'algebra post-universitaria, per intendersi all'università si fa un po' di teoria dei gruppi, degli anelli, dei campi, teoria di Galois, azioni di gruppi, moduli, categorie.........ecc.
Cosa "c'è" dopo?
Un ricercatore in algebra (e dintorni) di che cosa si occupa attualmente (2015)?
Quali sono "le frontiere" della materia?
P.S.
Mi chiedevo anche se fosse possibile fare ricerche (seppur banali) ad un livello undergraduate, e nel caso (affermativo) su cosa.
Grazie a chiunque risponda.
un saluto a tutti.
Damiano
Premetto che sono studente della triennale all'università di matematica e parlo da neofita della materia.
La mia domanda è questa: cosa "succede" nell'algebra post-universitaria, per intendersi all'università si fa un po' di teoria dei gruppi, degli anelli, dei campi, teoria di Galois, azioni di gruppi, moduli, categorie.........ecc.
Cosa "c'è" dopo?
Un ricercatore in algebra (e dintorni) di che cosa si occupa attualmente (2015)?
Quali sono "le frontiere" della materia?
P.S.
Mi chiedevo anche se fosse possibile fare ricerche (seppur banali) ad un livello undergraduate, e nel caso (affermativo) su cosa.
Grazie a chiunque risponda.
un saluto a tutti.
Damiano
Risposte
Stai ponendo una domanda estremamente estesa. Ti consiglio di guardare questo sito, dove vengono pubblicati i preprint degli articoli di giorno in giorno, in pratica ci trovi quello che è stato fatto due giorni fa. Cosa vuol dire? Che uno dopo aver scritto un articolo tipicamente lo manda a una rivista e contemporaneamente lo manda al sito che ti ho segnalato per renderlo disponibile agli interessati (sono tutti articoli che puoi scaricare gratuitamente). Quindi attenzione, perché ci potresti benissimo trovare articoli con degli errori (ricorda che non sono necessariamente articoli pubblicati su riviste). Per esempio ok ti interessa l'algebra, ma come sai l'algebra è estesissima. C'è una lista intitolata "mathematics", come vedi nessuno dei link dice puramente "algebra", cosa ti interessa in particolare? Teoria dei gruppi? Allora vai su "group theory", teoria delle categorie? Vai su "category theory". Algebra commutativa? Vai su "commutative algebra", eccetera. Per esempio l'ultimo articolo segnalato su teoria delle categorie è uno di Schultz che parla di categorie doppie virtuali , se entri trovi i dettagli. Quanto alla teoria dei gruppi, un articolo che personalmente trovo interessante e che è comparso oggi su arxiv è "Surjective word maps and Burnsides $p^aq^b$ theorem". Ecco per esempio molta ricerca sulla teoria dei gruppi odierna è rivolta verso le "word maps". Ma farti un resoconto completo di cosa si ricerca sarebbe un sacco di lavoro.
Quanto a ricerca undergraduate... penso che dovresti essere drasticamente più specifico. Certo che si può fare, ma su cosa la vuoi fare?
La risposta alla tua domanda dipende veramente tanto da cosa vuoi fare di preciso. Ti consiglio di parlarne con un professore, che oltre ad essere più diretto che uno scambio di messaggi su un forum, ti coinvolge anche di più perché sei tu che scegli con chi parlare (qui invece ti ho risposto io come ti poteva rispondere chiunque, e non hai metri di giudizio sull'attendibilità di chi ti risponde - inclusa la mia attendibilità).
PS. Quando si parla di ricerca, la comprensione della lingua inglese non è opzionale.
Quanto a ricerca undergraduate... penso che dovresti essere drasticamente più specifico. Certo che si può fare, ma su cosa la vuoi fare?
La risposta alla tua domanda dipende veramente tanto da cosa vuoi fare di preciso. Ti consiglio di parlarne con un professore, che oltre ad essere più diretto che uno scambio di messaggi su un forum, ti coinvolge anche di più perché sei tu che scegli con chi parlare (qui invece ti ho risposto io come ti poteva rispondere chiunque, e non hai metri di giudizio sull'attendibilità di chi ti risponde - inclusa la mia attendibilità).PS. Quando si parla di ricerca, la comprensione della lingua inglese non è opzionale.
Il fatto è che non sapendo assolutamente nulla di come e dove va la ricerca non posso che fare domande sul generalissimo.
Per esempio alla tua domanda
come fa uno a sapere cosa vuole ricercare o almeno a sapere cosa c'è da ricercare?
Ci sono degli argomenti proposti da qualche parte oppure uno trova da solo dei problemi a cui vuole dare risposta?
Ovviamente ci saranno dei problemi aperti di ampia portata e che richiedono una preparazione più che post laurea e dottorato, dei problemi "famosi".
Tornando alla ricerca undergraduate ((a proposito io uso undergraduate riferendomi ad un livello tra il terzo e il quarto anno dell'università italiana, cioè tra la triennale e la magistrale, è giusto?)) sai farmi o sai dirmi dove trovare degli esempi di cosa si possa fare, ad esempio intorno a gruppi, campi, campi finiti, o comunque strutture relativamente semplici e introdotte ai primi livelli? o anche a cosa si possa fare in generale a livello undergraduate.
Scusami le tante e forse assurde domande, ma sono molto curioso.
Comunque ne parlerò con qualche professore.
Per esempio alla tua domanda
"Martino":
Certo che si può fare, ma su cosa la vuoi fare?
come fa uno a sapere cosa vuole ricercare o almeno a sapere cosa c'è da ricercare?
Ci sono degli argomenti proposti da qualche parte oppure uno trova da solo dei problemi a cui vuole dare risposta?
Ovviamente ci saranno dei problemi aperti di ampia portata e che richiedono una preparazione più che post laurea e dottorato, dei problemi "famosi".
Tornando alla ricerca undergraduate ((a proposito io uso undergraduate riferendomi ad un livello tra il terzo e il quarto anno dell'università italiana, cioè tra la triennale e la magistrale, è giusto?)) sai farmi o sai dirmi dove trovare degli esempi di cosa si possa fare, ad esempio intorno a gruppi, campi, campi finiti, o comunque strutture relativamente semplici e introdotte ai primi livelli? o anche a cosa si possa fare in generale a livello undergraduate.
Scusami le tante e forse assurde domande, ma sono molto curioso.
Comunque ne parlerò con qualche professore.
Guarda, un problema che è tutt'ora aperto è il problema inverso di Galois. Hai tutte le nozioni per capire il problema, quindi puoi benissimo provare a risolverlo. Tieni presente che quando si fa ricerca è importante sapere esattamente quale progresso è stato fatto relativamente a un certo problema. Inoltre il problema di fare ricerca, come la chiami, "undergraduate" è appunto che in genere quello che si fa all'università è tutta un'introduzione alla materia. Per esempio avrai notato che nel sito arxiv punto org che ti ho segnalato non c'è un link che dice "linear algebra". Il motivo è che l'algebra lineare è un argomento che "sottosta" a così tante teorie che ha quasi (dico quasi) in un certo senso perso lo status di teoria su cui si fa ricerca. Come dicevo, tutto quello che si fa all'università è introduttivo. Quindi se uno fa ricerca in geometria algebrica, per esempio, allora di sicuro sa (e sa usare) tutti i risultati di algebra commutativa e geometria algebrica che si vedono durante l'università. Nota bene: questo non vuol dire che quello che si fa all'università è più facile di quello che si fa dopo. C'è una differenza enorme tra "facile" e "conosciuto". Potrebbe esistere una teoria semplicissima ed efficacissima che ancora non conosciamo. Il fatto che non la conosciamo ancora significa che è difficile? No. Per ogni argomento c'è un "modo di pensarlo" che lo rende facile, spesso ovvio.
Ma provo ad essere più chiaro: capire dove sta andando la ricerca nell'ambito di una certa teoria è parte integrante della ricerca stessa. C'è gente che fa ricerca in modo inefficace, perché magari pensano di produrre risultati nuovi quando invece si tratta di semplici corollari di risultati già conosciuti, o magari risultati "poco lontani" da risultati già conosciuti. Articoli di 10 pagine che potrebbero essere scritti in venti righe. Perché succede questo? Appunto perché per fare ricerca bisogna avere una nozione chiara di cosa si sa e cosa non si sa. E ottenere tale nozione, capire "cosa si può fare" è fare quasi un terzo del lavoro.
Non troverai un sito che ti dice "i seguenti problemi sono irrisolti e sono abbordabili a un undergraduate", in genere trovi molte persone che si accaparrano problemi "facili" perché magari non puntano a fare ricerca di qualità ma ad essere citati e riconosciuti come pionieri di un certo ambito di ricerca, per quanto piccolo.
Se chiedi a me, io faccio teoria dei gruppi e per quanto riguarda i problemi aperti, c'è un libretto (aggiornato ogni tot) che si chiama Kourovka notebook, che contiene tantissimi problemi aperti. Guarda, te ne scrivo uno che ha un enunciato comprensibile: è il 14.74, proposto da Pyber: denotando con [tex]k(G)[/tex] il numero di classi di coniugio del gruppo finito [tex]G[/tex], e per ogni divisore primo [tex]p_i[/tex] di [tex]|G|[/tex] (per [tex]i=1,\ldots,k[/tex]) detto [tex]P_i[/tex] un [tex]p_i[/tex]-sottogruppo di Sylow di [tex]G[/tex], è vero che [tex]k(G) \leq k(P_1) \cdots k(P_k)[/tex]? (Per la precisione questo problema era aperto nel 2010, non so se nel frattempo è stato risolto, dovrei documentarmi). Nessuno ti impedisce di provare a pensarci.
Si tratta di problemi aperti. Cosa vuol dire? Che
1. Nessuno li ha ancora risolti,
2. Nessuno (a priori) sa quanto è difficile risolverli.
Cosa sto dicendo? che la tua domanda
è un po' come se uno chiedesse "conoscete uno sport olimpico dove posso classificarmi tra i primi tre senza fare troppa fatica?".
Un altro discorso è se inizi una "collaborazione" (anche col tuo professore): potrebbe darsi che uno ha pensato a un problema e ha delle idee che condivide con altri per vedere se si può lavorare insieme. Ma è appunto un processo, nessuno ti darà mai idee pubblicamente senza conoscerti bene
Ma provo ad essere più chiaro: capire dove sta andando la ricerca nell'ambito di una certa teoria è parte integrante della ricerca stessa. C'è gente che fa ricerca in modo inefficace, perché magari pensano di produrre risultati nuovi quando invece si tratta di semplici corollari di risultati già conosciuti, o magari risultati "poco lontani" da risultati già conosciuti. Articoli di 10 pagine che potrebbero essere scritti in venti righe. Perché succede questo? Appunto perché per fare ricerca bisogna avere una nozione chiara di cosa si sa e cosa non si sa. E ottenere tale nozione, capire "cosa si può fare" è fare quasi un terzo del lavoro.
Non troverai un sito che ti dice "i seguenti problemi sono irrisolti e sono abbordabili a un undergraduate", in genere trovi molte persone che si accaparrano problemi "facili" perché magari non puntano a fare ricerca di qualità ma ad essere citati e riconosciuti come pionieri di un certo ambito di ricerca, per quanto piccolo.
Se chiedi a me, io faccio teoria dei gruppi e per quanto riguarda i problemi aperti, c'è un libretto (aggiornato ogni tot) che si chiama Kourovka notebook, che contiene tantissimi problemi aperti. Guarda, te ne scrivo uno che ha un enunciato comprensibile: è il 14.74, proposto da Pyber: denotando con [tex]k(G)[/tex] il numero di classi di coniugio del gruppo finito [tex]G[/tex], e per ogni divisore primo [tex]p_i[/tex] di [tex]|G|[/tex] (per [tex]i=1,\ldots,k[/tex]) detto [tex]P_i[/tex] un [tex]p_i[/tex]-sottogruppo di Sylow di [tex]G[/tex], è vero che [tex]k(G) \leq k(P_1) \cdots k(P_k)[/tex]? (Per la precisione questo problema era aperto nel 2010, non so se nel frattempo è stato risolto, dovrei documentarmi). Nessuno ti impedisce di provare a pensarci.
Si tratta di problemi aperti. Cosa vuol dire? Che
1. Nessuno li ha ancora risolti,
2. Nessuno (a priori) sa quanto è difficile risolverli.
Cosa sto dicendo? che la tua domanda
sai farmi o sai dirmi dove trovare degli esempi di cosa si possa fare, ad esempio intorno a gruppi, campi, campi finiti, o comunque strutture relativamente semplici e introdotte ai primi livelli? o anche a cosa si possa fare in generale a livello undergraduate.
è un po' come se uno chiedesse "conoscete uno sport olimpico dove posso classificarmi tra i primi tre senza fare troppa fatica?".
Un altro discorso è se inizi una "collaborazione" (anche col tuo professore): potrebbe darsi che uno ha pensato a un problema e ha delle idee che condivide con altri per vedere se si può lavorare insieme. Ma è appunto un processo, nessuno ti darà mai idee pubblicamente senza conoscerti bene
Grazie molte Martino.
Per quanto riguarda "lo sport olimpico" la mia domanda iniziale era proprio quella di sapere se l'algebra della "ricerca" o "avanzata" avesse ancora a che fare con strutture semplici (non dico problemi semplici ma strutture) o se ne uscissero strutture completamente diverse (che so magari sui campi finiti è tutto ovvio e si studia altre cose, vattela a pesca cosa).
Per quanto riguarda
già il fatto che esista un Kourovka notebook risponde in parte alla mia domanda (almeno posso avere idea di cosa si parla).
Perdonami le domande assurde.
Mille ringraziamenti per le delucidazioni e per il tuo tempo.
Per quanto riguarda "lo sport olimpico" la mia domanda iniziale era proprio quella di sapere se l'algebra della "ricerca" o "avanzata" avesse ancora a che fare con strutture semplici (non dico problemi semplici ma strutture) o se ne uscissero strutture completamente diverse (che so magari sui campi finiti è tutto ovvio e si studia altre cose, vattela a pesca cosa).
Per quanto riguarda
"Martino":
un sito che ti dice "i seguenti problemi sono irrisolti e sono abbordabili a un undergraduate"
già il fatto che esista un Kourovka notebook risponde in parte alla mia domanda (almeno posso avere idea di cosa si parla).
Perdonami le domande assurde.
Mille ringraziamenti per le delucidazioni e per il tuo tempo.
"damianormaximus":Una struttura che è semplice per te potrebbe essere incomprensibile per qualcun altro. Ma credo di capire cosa vuoi dire. C'è molta ricerca che si focalizza su strutture che gli studenti dell'università conoscono bene. Ma come ti dicevo, gli universitari conoscono ogni teoria a livello introduttivo. Per esempio tu magari sai cos'è un gruppo ma non sai cos'è un gruppo risolubile. Quasi sicuramente non sai cos'è un gruppo virtualmente prociclico. Sono strutture "semplici" (chiamiamole così), ma i problemi che esistono su queste strutture non sono semplici. Dici "che so magari sui campi finiti è tutto ovvio e si studia altre cose", no non è tutto ovvio. La matematica è una scienza che in effetti insegna che non c'è assolutamente niente di ovvio, e d'altra parte, paradossalmente, tutto è ovvio. Specialmente in algebra! Prese due cose "vere", come fai legittimamente a dire che una è più ovvia di un'altra? Io mi sono arreso all'idea che ogni persona ha le sue personali ovvietà. Non esistono cose ovvie per tutti. Potrei parlare di questo a lungo. Ma tornando a noi, campi finiti dici. E' troppo vago dire "campi finiti". Intendi problemi intrinseci riguardanti i campi finiti? Non so, mi viene in mente il problema del logaritmo discreto. Ma come ti ripeto già la domanda di dove sta andando la ricerca sulla struttura intrinseca dei campi finiti la trovo non banale. Come facciamo a sapere se si sa "tutto"? Cosa vuol dire "tutto"? Capisci qual è il problema? Per ora sappiamo una quantità ragionevole di cose sui campi finiti. Ah un'altra cosa che mi viene in mente è che non c'è un modo canonico di presentare un campo finito, e non c'è un modo algoritmico di trovarne gli elementi primitivi (gli elementi che singolarmente lo generano). Ma per capire come stanno le cose in termini di ricerca dovrei mettermi al lavoro. Se invece esci dall'intrinseco, se chiedi cosa si sa sui campi finiti visti come teoria che sottosta ad altre teorie, si apre un mondo enorme e incontrollabile. Praticamente ogni problema che ha un "underlying field" (e qui gli esempi sono innumerevoli) si può guardare ponendo come campo base un campo finito (non so, mi vengono in mente le curve ellittiche). Insomma un campo finito per uno che fa ricerca in algebra è un po' come le equazioni di secondo grado per uno che ha finito le superiori. Come ti ripeto riesco a risponderti meglio se sei specifico, è meglio se magari fai domande su un problema particolare che ti incuriosisce.
Per quanto riguarda "lo sport olimpico" la mia domanda iniziale era proprio quella di sapere se l'algebra della "ricerca" o "avanzata" avesse ancora a che fare con strutture semplici (non dico problemi semplici ma strutture) o se ne uscissero strutture completamente diverse (che so magari sui campi finiti è tutto ovvio e si studia altre cose, vattela a pesca cosa).
No no la mia domanda non voleva essere specifica in alcun modo e non può esserlo.
Era più una domanda del tipo : un tizio ceco fa una domanda sul "vedere" e se la risposta è "colori" è già molto buono, poi è chiaro che questo ceco non farà domande su "vedere Van Gogh".
Comunque grazie ancora.
Era più una domanda del tipo : un tizio ceco fa una domanda sul "vedere" e se la risposta è "colori" è già molto buono, poi è chiaro che questo ceco non farà domande su "vedere Van Gogh".
Comunque grazie ancora.
Ok vedila così: qualsiasi domanda ha la potenzialità di aprire un mondo (ironicamente, le risposte tendono invece a chiuderlo). Quindi per capire come stanno le cose ti consiglio caldamente di fare le domande che ti vengono, anche le più stupide, a un prof o anche a un altro studente come te (dimenticandoti tutta quella me**a che uno facilmente assorbe a scuola secondo cui fare errori è male). Magari farai un sacco di domande "banali" (io preferisco chiamarle "imperfette") ma è inevitabile. Prego ciao
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