Ricerca di sottogruppi
Buonasera a tutti!
Ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio:
"Siano assegnati: il gruppo moltiplicativo $G_1$ costituito dai numeri $1$ e $-1$ e un gruppo ciclico di ordine 4: $G_2={e,a,a^2,a^3}$. Si definisce in $G=G_1xxG_2$ la seguente operazione: $AA(n,a),(n',a')inG, (n,a)*(n',a')=(n n',a^(n')*a')$. [Si prova che $G$ è un gruppo di ordine 8]. Si determini l'ordine dei suoi elementi e si determinino i suoi sottogruppi".
Riporto rapidamente i risultati ottenuti in modo da entrare nel merito del dubbio. Risulta: $o(1,a)=4$, $o(-1,a)=2$ $o(1,a^2)=2$, $o(-1,a^2)=2$, $o(1,a^3)=4$, $o(-1,a^3)=2$, $o(-1,e)=2$ e chiaramente $o(1,e)=1$ essendo $(1,e)$ l'elemento neutro di $G$. Non ho avuto problemi a determinare i sottogruppi di ordine 2; invece per determinare i sottogruppi di ordine 4 come devo procedere? Chiaramente fra questi si avrà: $H=G(1,a)=G(1,a^3)$ e poi vengono segnalati i sottogruppi: $A={(1,e), (-1,e), (1,a^2), (-1,a^2)}$ e $B={(1,e),(-1,a),(1,a^2),(-1,a^3)}$. Come si determinano $A$ e $B$? Ce ne sono altri? Sicuramente tali gruppi dovranno contenere l'elemento neutro $(1,e)$, ma come faccio a determinare proprio questi?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio:
"Siano assegnati: il gruppo moltiplicativo $G_1$ costituito dai numeri $1$ e $-1$ e un gruppo ciclico di ordine 4: $G_2={e,a,a^2,a^3}$. Si definisce in $G=G_1xxG_2$ la seguente operazione: $AA(n,a),(n',a')inG, (n,a)*(n',a')=(n n',a^(n')*a')$. [Si prova che $G$ è un gruppo di ordine 8]. Si determini l'ordine dei suoi elementi e si determinino i suoi sottogruppi".
Riporto rapidamente i risultati ottenuti in modo da entrare nel merito del dubbio. Risulta: $o(1,a)=4$, $o(-1,a)=2$ $o(1,a^2)=2$, $o(-1,a^2)=2$, $o(1,a^3)=4$, $o(-1,a^3)=2$, $o(-1,e)=2$ e chiaramente $o(1,e)=1$ essendo $(1,e)$ l'elemento neutro di $G$. Non ho avuto problemi a determinare i sottogruppi di ordine 2; invece per determinare i sottogruppi di ordine 4 come devo procedere? Chiaramente fra questi si avrà: $H=G(1,a)=G(1,a^3)$ e poi vengono segnalati i sottogruppi: $A={(1,e), (-1,e), (1,a^2), (-1,a^2)}$ e $B={(1,e),(-1,a),(1,a^2),(-1,a^3)}$. Come si determinano $A$ e $B$? Ce ne sono altri? Sicuramente tali gruppi dovranno contenere l'elemento neutro $(1,e)$, ma come faccio a determinare proprio questi?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
Se l'esercizio ti chiede di determinare esplicitamente tutti i sottogruppi di ordine $4$ credo che l'unica strada sia quella di costruire la tabella moltiplicativa del gruppo originario di ordine $8$ e farsi i vari conti. Se invece ti chiede di determinare i sottogruppi di ordine $4$ a meno di isomorfismi basta che tu ne trovi uno ciclico e uno non ciclico e qui vanno già bene quelli che hai indicato rispettivamente con $G(1,a)$ e $A$.
Capito. La consegna dell'esercizio è fondamentalmente imprecisa... comunque data la risoluzione, deduco che i sottogruppi vadano ricercati esplicitamente.
Riguardo la tabella moltiplicativa, so cosa è e come si costruisce ma come deduco da essa i sottogruppi di ordine 4?
Riguardo la tabella moltiplicativa, so cosa è e come si costruisce ma come deduco da essa i sottogruppi di ordine 4?
"deserto":
Se l'esercizio ti chiede di determinare esplicitamente tutti i sottogruppi di ordine $4$ credo che l'unica strada sia quella di costruire la tabella moltiplicativa del gruppo originario di ordine $8$ e farsi i vari conti.
In che senso? Dopo che ho costruito la tabella, come deduco i sottogruppi di ordine 4?
"Andrea90":Può essere utile ricordare che un gruppo di ordine 4 è generato o da un elemento di ordine 4 oppure da due elementi di ordine 2 il cui prodotto ha ordine 2.
In che senso? Dopo che ho costruito la tabella, come deduco i sottogruppi di ordine 4?
Per dovere di cronaca, il gruppo con cui hai a che fare è il prodotto semidiretto [tex]G_1 \ltimes G_2[/tex] dove l'azione è data dall'inversione. In pratica quello che ottieni è il gruppo diedrale con 8 elementi [tex]D_8[/tex]. Per avere un riferimento, vedi qui a pagina 63 il reticolo dei sottogruppi di questo gruppo. Come vedi ci sono 3 sottogruppi di ordine 4 e 5 sottogruppi di ordine 2.
Ma allora dalla tabella moltiplicativa non posso dedurre nulla? Cioè, l'ho costruita, ma come deduco da essa i sottogruppi richiesti? Non mi è chiaro questo passaggio...
"Andrea90":Un sottogruppo di ordine 4, come ti dicevo, è generato da:
Ma allora dalla tabella moltiplicativa non posso dedurre nulla? Cioè, l'ho costruita, ma come deduco da essa i sottogruppi richiesti? Non mi è chiaro questo passaggio...
- un elemento di ordine 4, oppure
- due elementi di ordine 2 il cui prodotto ha ordine 2.
Quindi devi cercare nella tabella moltiplicativa gli elementi di ordine 4 e le coppie di elementi di ordine 2 il cui prodotto ha ordine 2.
Beh, a questo punto allora posso avvalermi della prima parte dell'esercizio in cui ho trovato l'ordine di ciascun elemento...
Gentilmente potresti descrivermi la procedura che ti porta fino alla determinazione di uno dei sottogruppi in oggetto? Così procedo con gli altri... Grazie.
Gentilmente potresti descrivermi la procedura che ti porta fino alla determinazione di uno dei sottogruppi in oggetto? Così procedo con gli altri... Grazie.
In modo empirico, se hai scritto la tabella moltiplicativa del gruppo hai già tutti i prodotti dei vari elementi e in tale modo considerando tre elementi distinti alla volta (il quarto è l'elemento neutro del gruppo) ti accorgi subito se il prodotto di questi tre elementi, presi due a due, è esso stesso uno dei tre elementi.
Allora: vi dico come sto procedendo. Sicuramente dato che $o(1,a)=o(1,a^3)=4$ si ha il gruppo ciclico di ordine 4: $G(1,a)=G(1,a^3)$. Devo determinare gli altri. Pertanto, come da vostro suggerimento, eseguo tutti i possibili prodotti fra gli elementi di ordine 2 e pervengo ai sottogruppi desiderati.
Tuttavia non mi è chiara una cosa: perchè per trovare gli altri sottogruppi di ordine 4 (intendo oltre a quello ciclico) devo considerare le coppie di elementi di ordine 2 il cui prodotto ha ordine 2?
Tuttavia non mi è chiara una cosa: perchè per trovare gli altri sottogruppi di ordine 4 (intendo oltre a quello ciclico) devo considerare le coppie di elementi di ordine 2 il cui prodotto ha ordine 2?
"Andrea90":Osserva che se un gruppo di ordine 4 non ha elementi di ordine 4 allora ha un elemento di ordine 1 (l'identità) e tre elementi di ordine 2 (che saranno del tipo a, b e ab).
Tuttavia non mi è chiara una cosa: perchè per trovare gli altri sottogruppi di ordine 4 (intendo oltre a quello ciclico) devo considerare le coppie di elementi di ordine 2 il cui prodotto ha ordine 2?
Ok. Capito. Nel caso generale allora come devo comportarmi? Cioè a prescindere dal fatto che il gruppo abbia ordine 4...
"Andrea90":Questo argomento non è generalizzabile. L'esercizio riguarda un gruppo "piccolo" e quindi è fattibile.
Ok. Capito. Nel caso generale allora come devo comportarmi? Cioè a prescindere dal fatto che il gruppo abbia ordine 4...
Determinare tutti i sottogruppi di un gruppo dato è un problema molto difficile.
Già... l'avevo capito!
Ho capito perchè bisogna prendere gli elementi di ordine due, ma perchè si richiede che anche il loro prodotto sia di ordine 2? [Rileggendo mi sorge qualche dubbio!]
Ho capito perchè bisogna prendere gli elementi di ordine due, ma perchè si richiede che anche il loro prodotto sia di ordine 2? [Rileggendo mi sorge qualche dubbio!]
Facendo i vari prodotti, oltre ai sottogruppi $A$ e $B$ da me menzionati nel primo post, ho trovato $C={(1,e),(-1,a), (-1,e), (1,a^2)}$. Perché nella risoluzione proposta nel testo tale sottogruppo non viene segnalato?
Ho trovato $C$ osservando che $o(-1,a)=o(-1,e)=2$ e $o[(-1,a)(-1,e)]=o(1,a^2)=2$...
Ho trovato $C$ osservando che $o(-1,a)=o(-1,e)=2$ e $o[(-1,a)(-1,e)]=o(1,a^2)=2$...
"Andrea90":Perché l'ordine del prodotto deve dividere 4.
Ho capito perchè bisogna prendere gli elementi di ordine due, ma perchè si richiede che anche il loro prodotto sia di ordine 2? [Rileggendo mi sorge qualche dubbio!]
Toh, abbiamo lo stesso eserciziario 
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