Ricerca dell'elemento neutro per determinare se (S,*) è un monoide commutativo

[Kurtis92]

In $S=ZZ × ZZ$, si consideri l'operazione $**$ così definita: $∀ (a,b),(c,d)∈S$, $(a,b)**(c,d)=(a+c+2,9bd)$.
Si verifichi che $(S,**)$ è un monoide commutativo.
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Dunque, un monoide commutativo è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e commutativa; ed inoltre ha un elemento neutro.
Associatività e commutatività le ho già verificate, e mi trovo. Ho soltanto un dubbio circa l'elemento neutro...vi spiego: bisogna verificare che $(a,b)**(w,z)=(a,b)$, e quindi $(a+w+2,9bz)=(a,b)$. L'unico elemento neutro che vedo è $(-2,1/9)$, ma temo che $1/9$ non può essere adoperato, in quanto stiamo operando nell'insieme $ZZ$...è così? Se sì, è vero che non esiste un elemento neutro?
Grazie per l'attenzione.

[gugo82]

Vero.
D'altra parte, basta prendere \((a,b)=(0,1)\) per vedere che non può esistere alcun \((c,d)\in S\) tale che \((c+2,9d)=(0,1)\star (c,d)=(0,1)\).

Sarà sbagliato il testo dell'esercizio.

[Kurtis92]

Ok, grazie mille!

[Kurtis92]

Ho un altro dubbio riguardo quest'esercizio: il secondo punto mi chiede di determinare gli elementi invertibili, e di determinare il simmetrico di $(7,7)$ mediante un'opportuna equazione congruenziale. Ma dal momento che non c'è un elemento neutro, non è possibile procedere lo svolgimento dell'esercizio. Sbaglio?