Ricavare classe opposta in Z
Ciao ragazzi, ho nuovamente bisogno del vostro aiuto...
Sto cercando di capire come ricavare la classe opposta in questo esercizio:
$2459^547(mod 10)$
potete aiutarmi in modo "semplice" a risolvere il quesito? Ecco il mio ragionamento:
ho diviso $2459$ per $10$ ottenendo così $9^547(mod 10)$
essendo $9$ e $10$ coprimi ho calcolato il $\phi$, ottenendo:
$phi(10) =4$
da ciò so che (per le proprietà delle congruenze?) $9^4-=1(mod 10)$
è corretto? Da ora in poi come proseguo?
Grazie e scusate per la domanda stupida :/
Sto cercando di capire come ricavare la classe opposta in questo esercizio:
$2459^547(mod 10)$
potete aiutarmi in modo "semplice" a risolvere il quesito? Ecco il mio ragionamento:
ho diviso $2459$ per $10$ ottenendo così $9^547(mod 10)$
essendo $9$ e $10$ coprimi ho calcolato il $\phi$, ottenendo:
$phi(10) =4$
da ciò so che (per le proprietà delle congruenze?) $9^4-=1(mod 10)$
è corretto? Da ora in poi come proseguo?
Grazie e scusate per la domanda stupida :/
Risposte
Ora devi eseguire la divisione euclidea di $547$ per $4$.
$547= q*4 +r$ con $q in ZZ$ e $r in {0,1,2,3}$. Quanto vengono $q$ e $r$?
$547= q*4 +r$ con $q in ZZ$ e $r in {0,1,2,3}$. Quanto vengono $q$ e $r$?
$547 = 136*4+3$
quindi $q = 136$ $r = 3$
e adesso?
quindi $q = 136$ $r = 3$
e adesso?
Adesso si ha
$9^(547)= 9^((4*136)+3)= 9^(4*136) * 9^3 = (9^4)^136 * 9^3 -=_{mod 10} 1^(136)*9^3 = 9^3 = 729-=_{mod 10} 9$
$9^(547)= 9^((4*136)+3)= 9^(4*136) * 9^3 = (9^4)^136 * 9^3 -=_{mod 10} 1^(136)*9^3 = 9^3 = 729-=_{mod 10} 9$
tutto chiaro tranne una cosa, il $9^3$ da cosa è dato?
A quale passaggio ti riferisci?
$9^(4*136)*9^3$
non riesco a scriverlo bene con i simboli ma dovrebbe essere comprensibile
edit, sistemato!
non riesco a scriverlo bene con i simboli ma dovrebbe essere comprensibile
edit, sistemato!
Vuoi sapere perchè $9^(4*136 +3) = 9^(4*136)*9^3$?
E' una delle proprietà delle potenze: $a^(x+y)= a^x * a^y$
Nel nostro caso $a=9$, $x= 4*136$, $y=3$
E' una delle proprietà delle potenze: $a^(x+y)= a^x * a^y$
Nel nostro caso $a=9$, $x= 4*136$, $y=3$
oh, ok perfetto! Tutto chiaro, quindi in questo caso, 9 è la classe inversa e per trovare l'opposta? 10-9?
Esatto: dato che $[2459^(547)]_{10} = [9]_{10}$, la sua classe opposta è $[1]_{10}$.
Ti volevo consigliare un metodo più veloce di quello standard: una volta arrivato a $9^(547) (mod 10)$ puoi notare che $9-=_{mod 10} -1$, dunque $9^(547) -=_{mod 10} (-1)^(547) = -1 -=_{mod 10} 9$.
In questo modo eviti la fastidiosissima divisione euclidea. Ciao
Ti volevo consigliare un metodo più veloce di quello standard: una volta arrivato a $9^(547) (mod 10)$ puoi notare che $9-=_{mod 10} -1$, dunque $9^(547) -=_{mod 10} (-1)^(547) = -1 -=_{mod 10} 9$.
In questo modo eviti la fastidiosissima divisione euclidea. Ciao
Grazie, sei gentilissimo... posso fare un'ultima domanda?
Cosa avremmo dovuto fare se 9 e 10 non fossero stati coprimi?
Cosa avremmo dovuto fare se 9 e 10 non fossero stati coprimi?
La domanda è mal posta, non ha senso chiedere se $9$ e $10$ non fossero stati coprimi 
lo sono e basta, sempre.
Ma ho capito cosa vuoi chiedere, ma non esiste un metodo generale.
Ad esempio se avresti avuto
$50^(2985688745632156697)(mod5)$ non avresti dovuto ragionare sugli esponenti, basta che ti accorgevi che $50=0(mod5)$ e quindi anche quella cosa mostruosa è uguale a zero modulo 5.
Se avresti avuto ad esempio
$9^(9875)(mod6)$ avresti dovuto constatare che $9=3(mod6)$ e quindi
$9^(9875)=3^(9875)(mod6)$ a questo punto nessuno dei teoremetti che conosci ti sarebbero stati d'aiuto.
Però puoi constatare una cosa.
$3^1=3, 3^2=9=3 , 3^3=3 , 3^4=3 , 3^5=3,..........,3^10=0(mod6)$
quindi
$9^(9875)=3^(9875)=3^(9870)*3^5=(3^10)^9870*3^5=0*3^5=0(mod6)$
lo sono e basta, sempre.
Ma ho capito cosa vuoi chiedere, ma non esiste un metodo generale.
Ad esempio se avresti avuto
$50^(2985688745632156697)(mod5)$ non avresti dovuto ragionare sugli esponenti, basta che ti accorgevi che $50=0(mod5)$ e quindi anche quella cosa mostruosa è uguale a zero modulo 5.
Se avresti avuto ad esempio
$9^(9875)(mod6)$ avresti dovuto constatare che $9=3(mod6)$ e quindi
$9^(9875)=3^(9875)(mod6)$ a questo punto nessuno dei teoremetti che conosci ti sarebbero stati d'aiuto.
Però puoi constatare una cosa.
$3^1=3, 3^2=9=3 , 3^3=3 , 3^4=3 , 3^5=3,..........,3^10=0(mod6)$
quindi
$9^(9875)=3^(9875)=3^(9870)*3^5=(3^10)^9870*3^5=0*3^5=0(mod6)$
Grazie!
@Kashaman: perchè $3^(10) -=_{mod 6}0$? 
"Gi8":
@Kashaman: perchè $3^(10) -=_{mod 6}0$?
Infatti... ha fatto vedere che l'esponenziazione è ciclica - sempre 3 - e poi arrivato all'esponente 10 ha scritto 0.
Già che ci siamo lo sistemo per benino (si scherza, eh 
)
Qui ci sono almeno due erroracci (oltre a quello segnalato in precedenza).
Kashaman, hai fatto l'esame l'altroieri! Quanto hai bevuto in questi giorni per dimenticarti le cose basilari?
)"Kashaman":
$9^(9875)=3^(9875)=3^(9870)*3^5=(3^10)^9870*3^5=0*3^5=0(mod6)$
Qui ci sono almeno due erroracci (oltre a quello segnalato in precedenza).
Kashaman, hai fatto l'esame l'altroieri! Quanto hai bevuto in questi giorni per dimenticarti le cose basilari?
"Gi8":
Quanto hai bevuto in questi giorni per dimenticarti le cose basilari?
hihi che fesso che sono. Ho dato proprio di matto. Infatti è vero che $3^10=3(mod6)$ .
usando questo fatto ed usando il fatto che $9=3(mod6)$
si può dire che $9^(9875)=3^(9875)=(3^10)^987*3^5=3^987*3$ infatti $3^5=3(mod6)$
Dunque
$3^987*3=(3^10)^98*3^7*3=3^98*3^8$ ora $3^8=3(mod6)$
$3^98*3=(3^10)^9*3^8*3=3^9*3^8*3=3^10*3^8=3*3^8=3^9=19683=3(mod6)$
Penso sia più corretto adesso.
usando questo fatto ed usando il fatto che $9=3(mod6)$
si può dire che $9^(9875)=3^(9875)=(3^10)^987*3^5=3^987*3$ infatti $3^5=3(mod6)$
Dunque
$3^987*3=(3^10)^98*3^7*3=3^98*3^8$ ora $3^8=3(mod6)$
$3^98*3=(3^10)^9*3^8*3=3^9*3^8*3=3^10*3^8=3*3^8=3^9=19683=3(mod6)$
Penso sia più corretto adesso.
@Kashman
Questo starebbe bene nell'altro thread "Uccidere mosche con un cannone".
La dimostrazione è banale. Ora si ha
$3^1-=3 (mod\ 6)$
$3^2=9-=3(mod\ 6)$
$3^3=27-=3(mod\ 6)$
eccetera. Quindi $3^9875-=3(mod\ 6)$.
Questo starebbe bene nell'altro thread "Uccidere mosche con un cannone".
Teorema: in $NN$, il valore $x=a^b(mod\ n)$ è periodico, a partire da un valore $h<=n$ con periodo $p<=n$.
La dimostrazione è banale. Ora si ha
$3^1-=3 (mod\ 6)$
$3^2=9-=3(mod\ 6)$
$3^3=27-=3(mod\ 6)$
eccetera. Quindi $3^9875-=3(mod\ 6)$.
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