Revisione Dimostrazione

[ThomasM4nn]

Salve,

vorrei sottoporvi la mia dimostrazione di un esercizio per vedere se è corretta.
Il testo è il seguente:
Sia f : $RR^3$ → $RR^4$ una funzione lineare iniettiva. Si dimostri che esiste una funzione lineare
g : $RR^4$ → $RR^3$ tale che la funzione composta g ◦ f : $RR^3$ → $RR^3$ sia l’identità. E possibile che esista una funzione h: $RR^4$ → $RR^3$ tale che la funzione composta f ◦ h: $RR^4$ → $RR^4$ sia l’identità?

Sol.

Primo quesito: La funzione g cercata esiste a patto che sia iniettiva e suriettiva. Infatti poichè f è iniettiva, se $vec v$ $!=$ $vec w$ allora $f(vec v)$ $!=$ $f(vec w)$. Ma se g non è iniettiva, sotto le ipotesi $vec v$ $!=$ $vec w$ e $f(vec v)$ $!=$ $f(vec w)$, può avvenire che $g(f(vec v))$ $=$ $vec v$ $=$ $g(f(vec w))$ e quindi g non è l'identità. E' inoltre necessario che ogni $vec v$ in $RR^3$ appartenga all'immagine di g, quindi g deve essere anche suriettiva.

Secondo quesito: Simile al primo, qui è necessario che h sia solamente iniettiva trasformando quindi elementi distinti in elementi distinti sui quali poi opera f, anch'essa iniettiva.

Grazie mille del vostro tempo.

ThomasM4nn

[killing_buddha]

No, è sbagliato. $g$ esiste sempre, e se $h$ esiste, $f$ è un isomorfismo e $g=h$ (ciò non può essere, dato che $3\ne 4$).