Reticoli e diagrammi di Hasse
Ho questi diagrammi di Hasse in figura, dove (A,R) è un insieme ordinato:

Nel primo caso A={a,b,c,d}
Nel secondo A={a,b,c,d,e,f}
Nel terzo caso A={3,6,12,15,30,36,48}. Nel terzo caso si ha che R è la relazione di divisibilità
Come si fa a capire se sono reticoli???
Inoltre, come si fa a costruire , per ogni caso,una relazione d'ordine totale su A che sia compatibile con R?
Chi mi aiuta??

Nel primo caso A={a,b,c,d}
Nel secondo A={a,b,c,d,e,f}
Nel terzo caso A={3,6,12,15,30,36,48}. Nel terzo caso si ha che R è la relazione di divisibilità
Come si fa a capire se sono reticoli???

Inoltre, come si fa a costruire , per ogni caso,una relazione d'ordine totale su A che sia compatibile con R?
Chi mi aiuta??

Risposte
verifichi le proprietà della definizione di reticolo
per ogni coppia di elementi deve esistere sia sup che inf
quindi nessuno dei tre è un reticolo
per avere una relazione d'ordine totale occorre semplicemente trovare $R'$ tale che $R \subseteq R'$ per la quale non ci sono elementi inconfrontabili
per il primo caso puoi aggiungere ad esempio le coppie {(a, c), (c, d)} (e la chiusura transitiva)
per il secondo caso puoi aggiungere ad esempio le coppie {(d, a), (c, e)} (e la chiusura transitiva)
per il terzo puoi utilizzare l'usuale relazione d'ordine $\leq$ dato che $a | b$ implica $a \leq b$
per ogni coppia di elementi deve esistere sia sup che inf
quindi nessuno dei tre è un reticolo
per avere una relazione d'ordine totale occorre semplicemente trovare $R'$ tale che $R \subseteq R'$ per la quale non ci sono elementi inconfrontabili
per il primo caso puoi aggiungere ad esempio le coppie {(a, c), (c, d)} (e la chiusura transitiva)
per il secondo caso puoi aggiungere ad esempio le coppie {(d, a), (c, e)} (e la chiusura transitiva)
per il terzo puoi utilizzare l'usuale relazione d'ordine $\leq$ dato che $a | b$ implica $a \leq b$

avrei un altro dubbio...per quanto riguardo i reticoli distributivi:
-se il reticolo non è distributivo,lo dimostro con un esempio di elementi che non soddisfano la proprietà x or (y and z) <= (x or y) and (x or z)
-nel caso il reticolo è distributivo, come faccio a dimostrarlo???
Per esempio ho il reticolo in figura.Mi sembra sia distributivo..ma come faccio a dimostrarlo?

beh anche in questo caso o verifichi le proprietà della definizione di reticolo distributivo per tutti gli elementi (noioso)
oppure usi più comodamente la seconda parte del Teorema 10.1 di questa dispensa:
http://designtheory.org/library/encyc/topics/posets.pdf
oppure usi più comodamente la seconda parte del Teorema 10.1 di questa dispensa:
http://designtheory.org/library/encyc/topics/posets.pdf
potresti spiegare cosa dice il teorema 10.1 della dispensa, non riesco a capirlo