Reticoli e diagrammi di Hasse

[priscilla84]

Ho questi diagrammi di Hasse in figura, dove (A,R) è un insieme ordinato:



Nel primo caso A={a,b,c,d}
Nel secondo A={a,b,c,d,e,f}
Nel terzo caso A={3,6,12,15,30,36,48}. Nel terzo caso si ha che R è la relazione di divisibilità

Come si fa a capire se sono reticoli???

Inoltre, come si fa a costruire , per ogni caso,una relazione d'ordine totale su A che sia compatibile con R?
Chi mi aiuta??

[yinyang]

verifichi le proprietà della definizione di reticolo
per ogni coppia di elementi deve esistere sia sup che inf
quindi nessuno dei tre è un reticolo

per avere una relazione d'ordine totale occorre semplicemente trovare $R'$ tale che $R \subseteq R'$ per la quale non ci sono elementi inconfrontabili

per il primo caso puoi aggiungere ad esempio le coppie {(a, c), (c, d)} (e la chiusura transitiva)
per il secondo caso puoi aggiungere ad esempio le coppie {(d, a), (c, e)} (e la chiusura transitiva)
per il terzo puoi utilizzare l'usuale relazione d'ordine $\leq$ dato che $a | b$ implica $a \leq b$

[priscilla84]

ok, grazie!
avrei un altro dubbio...per quanto riguardo i reticoli distributivi:

-se il reticolo non è distributivo,lo dimostro con un esempio di elementi che non soddisfano la proprietà x or (y and z) <= (x or y) and (x or z)
-nel caso il reticolo è distributivo, come faccio a dimostrarlo???

Per esempio ho il reticolo in figura.Mi sembra sia distributivo..ma come faccio a dimostrarlo?

[yinyang]

beh anche in questo caso o verifichi le proprietà della definizione di reticolo distributivo per tutti gli elementi (noioso)
oppure usi più comodamente la seconda parte del Teorema 10.1 di questa dispensa:

http://designtheory.org/library/encyc/topics/posets.pdf

[gaten]

potresti spiegare cosa dice il teorema 10.1 della dispensa, non riesco a capirlo