Reticoli e Algebra di Boole

[Dankorw]

Ciao a tutti, sto risolvendo un esercizio dove, dati due reticoli $D_294$ e $D_273$ (divisori rispettivamente di 294 e 273), devo determinare se sono Algebre di Boole o meno, spiegandone il motivo. Io ho risposto nella maniera seguente:

Affinchè un reticolo si possa considerare un'Algebra di Boole, vi è la necessità che quest'ultimo sia:
-limitato;
-distributivo;
-complementato.

Notiamo come i reticoli $D_294$ e $D_273$ sono distributivi dal momento che rispettano le seguenti proprietà distributive:

(1a) $ a^^(bvvc)=(a^^b)vv(a^^c) $

(1b) $ avv(b^^c)=(avvb)^^(avvc) $

Per il principio di dualità la condizione (1a) è valida se , e soltanto se, la condizione (1b) lo è.

Dimostriamo dunque la distributività:

$ avv(b^^c)=(avvb)^^(avvc) $
$ 7vv1=21^^14 $
$ 7=7 $

Prima di continuare vorrei sapere se questa mia risposta fin qui è corretta, dal momento che provando a svolgere la (1a) non mi si soddisfa l'uguaglianza.

Grazie in anticipo

[Dankorw]

Un aiutino?

[perplesso1]

$D_294$ non è booleano infatti l'elemento $7$ non ammette complemento (riesci a dimostrarlo ?) Invece $D_273$ è booleano, prova a disegnare il diagramma di Hasse (ti verrà un cubo )

"Dankorw":Per il principio di dualità la condizione (1a) è valida se , e soltanto se, la condizione (1b) lo è.

[ot]Una piccolissima osservazione... in realtà stai utilizzando la dualità in maniera impropria, infatti il principio di dualità per i reticoli dice che

Se una certa affermazione è vera in tutti i reticoli allora anche l'affermazione duale (che si ottiene scambiando $^^$ con $vv$ e viceversa etc etc ...) è vera in tutti i reticoli.

L'equivalenza tra (1a) e (1b) è comunque vera, ma non puoi derivarla semplicemente dal principio di dualità, la dovresti dimostrare (se proprio ti serve, altrimenti puoi dare questo fatto per scontato e proseguire... xD)[/ot]