Reticoli di down-sets
Salve ragazzi, mi servirebbe un aiuto per spiegare meglio la dimostrazione di un teorema; io l'ho svolta nel modo seguente (in rosso le parti che ho aggiunto), gradirei sapere se per voi va bene o eventualmente cosa cambiereste/aggiungereste:
Sia $E$ un insieme ordinato finito con $|E|=n$, allora $n+1<=|O(E)|<=2^n$ con $O(E)$ reticolo dei down-set di $E$
Dim.
$E$ ha il minor numero di down-set quando è una catena, poichè i suoi elementi sono tutti confrontabili, in tal caso O(E) è anch'esso una catena di cardinalità $N+1$, poichè bisogna considerare anche il down-set vuoto.
corrispondentemente, $E$ possiede il maggior numero di down-sets quando è un'anticatena perchè bisogna considerare anche i down-set costituiti da un solo elemento, da due , da $n-1$ elementi essendo gli elementi di $E$ non confrontabili quindi $O(E)=P(E)$ che è di cardinalità $2^n$.
grazie mille.
Sia $E$ un insieme ordinato finito con $|E|=n$, allora $n+1<=|O(E)|<=2^n$ con $O(E)$ reticolo dei down-set di $E$
Dim.
$E$ ha il minor numero di down-set quando è una catena, poichè i suoi elementi sono tutti confrontabili, in tal caso O(E) è anch'esso una catena di cardinalità $N+1$, poichè bisogna considerare anche il down-set vuoto.
corrispondentemente, $E$ possiede il maggior numero di down-sets quando è un'anticatena perchè bisogna considerare anche i down-set costituiti da un solo elemento, da due , da $n-1$ elementi essendo gli elementi di $E$ non confrontabili quindi $O(E)=P(E)$ che è di cardinalità $2^n$.
grazie mille.
Risposte
scusa potresti ricordarci cosa e' il reticolo dei down-set? (le cose che non trovo su wikipedia non le considero standard)
Salve Valerio Capraro,
guarda qui
, come vedi ci sono anche le pagine italiane.. ammesso che siano quelli di cui parla stella matematica 
..??
Premetto che lo sò, solamente, perchè navigo molto sul web .... ma l'argomento in sé non lo conosco...
Cordiali saluti
"Valerio Capraro":
scusa potresti ricordarci cosa e' il reticolo dei down-set? (le cose che non trovo su wikipedia non le considero standard)
guarda qui
, come vedi ci sono anche le pagine italiane.. ammesso che siano quelli di cui parla stella matematica ..??Premetto che lo sò, solamente, perchè navigo molto sul web .... ma l'argomento in sé non lo conosco...
Cordiali saluti
Grazie Garnak! Non era uscito googlando "down-set".
@Stella: la tua soluzione mi sembra corretta.
@Stella: la tua soluzione mi sembra corretta.
sisi più o meno è questo, però ve lo dico in maniera più lineare:
per down set o sottoinsieme inferiore di un insieme ordinato $(E, <=)$ si intende un sottoinsieme $D$ di $E$ con la proprietà che se $ x in D $ e $yinE$ è tale che $y<=x$ allora $yinD$. il sottoinsieme vuoto di $E$ è considerato un down-set.
Un reticolo è un insieme ordinato $(E, <=)$ che, rispetto al suo ordine, è sia un semireticolo inferiore che superiore, pertanto un reticolo è un insieme ordinato in cui ogni coppia di elementi ha l'estremo inferiore e superiore.
A questo punto siano $A$ e $B$ down set di $E$, allora chiaramente tali sono anche $AnnB$ ed $AuuB$. quindi l'insieme dei down-sets di $E$ è un reticolo in cui inf$(A,B)=AnnB$ e sup$(A,B)=AuuB$.Questo reticolo sarà denotato con $O(E)$. visto che anche l'insieme vuoto è considerato un down-sets, allora il reticolo $O(E)$ è limitato con elemento massimo $E$ ed elemento minimo l'insieme vuoto. Penso che per il concetto di catena ed anticatena non ci dovrebbero essere problemi.
grazie mille
per down set o sottoinsieme inferiore di un insieme ordinato $(E, <=)$ si intende un sottoinsieme $D$ di $E$ con la proprietà che se $ x in D $ e $yinE$ è tale che $y<=x$ allora $yinD$. il sottoinsieme vuoto di $E$ è considerato un down-set.
Un reticolo è un insieme ordinato $(E, <=)$ che, rispetto al suo ordine, è sia un semireticolo inferiore che superiore, pertanto un reticolo è un insieme ordinato in cui ogni coppia di elementi ha l'estremo inferiore e superiore.
A questo punto siano $A$ e $B$ down set di $E$, allora chiaramente tali sono anche $AnnB$ ed $AuuB$. quindi l'insieme dei down-sets di $E$ è un reticolo in cui inf$(A,B)=AnnB$ e sup$(A,B)=AuuB$.Questo reticolo sarà denotato con $O(E)$. visto che anche l'insieme vuoto è considerato un down-sets, allora il reticolo $O(E)$ è limitato con elemento massimo $E$ ed elemento minimo l'insieme vuoto. Penso che per il concetto di catena ed anticatena non ci dovrebbero essere problemi.
grazie mille
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