Reticoli

[aram1]

Buongiorno, mi è sorto un dubbio sui reticoli. Leggo che un reticolo per definizione è una struttura algebrica costituita da un insieme di sostegno L e due operazioni binarie(interne)$(L,\wedge, \vee)$, per le quali valgono le proprietà associativa, commutativa, l'idempotenza e le leggi di assorbimento. Si può, equivalentemente, definire un reticolo, una volta dato un insieme con una relazione d'ordine $x \leq y \Leftrightarrow x=x\vee y$ come un insieme parzialmente ordinato $(L,\leq)$, in cui $\forall x,y \in L$ $\exists$ inf $\{x,y \}= x\wedge y$ e sup $\{x,y \}= x\vee y$
Mi chiedo se questo non sia un ordine totale invece che parziale, visto che in questo modo ogni elemento dell'insieme L può essere in qualche modo confrontato con un altro, visto che per definizione esistono sia l' inf che il sup. Forse solo nel caso in cui inf$\{x,y \}$ e sup$\{x,y \}$ siano entrambi uguali ad uno dei due elementi e non siano un elemento generico dell'insieme L posso parlare di ordine totale? Grazie.

[Principe2]

stai facendo un po' di confusione. Infatti non e' chiaro da cosa parti a cosa arrivi. Dunque, la formulazione corretta mi sembra essere la seguente. Tu parti da un reticolo e definisci l'ordine $x\leq y$ se e soltanto se $x=x\wedge y$ (e non $\vee$.. quello e' il $\geq$ (basta pensare all'insieme delle parti di un insieme con l'ovvia struttura reticolar)). A questo punto e' chiaro che in generale la relazione d'ordine sara' solo parziale e non (almeno in generale) totale. Per avere un esempio esplicito, pensa di nuovo all'ordine indotto dalla naturale struttura reticolare sull'insieme delle parti di un insieme. Questo ordine non e' nient'a;tro che la relazione di contenimento: $A\leq B$ se e solo se $A\subset B$. E' chiaro dunque che questa relazione d'ordine e' parziale, ma non totale.

[aram1]

giusto, mi ero sbagliato, la relazione d'ordine esatta è questa $x \leq y \Leftrightarrow x=x \wedge y$. Per il resto, però, dato un insieme X, il suo insieme delle parti con la relazione di inclusione $\subseteq$ mi sembra un ordine totale, visto che dati due insiemi A,B appartenenti all'insieme delle parti posso sempre dire che o $A \subseteq B$ oppure $B \subseteq A$, non ti risulta? Forse è un ordine parziale con $\subset$ e totale con $\subseteq$?

[Principe2]

"aram": dati due insiemi A,B appartenenti all'insieme delle parti posso sempre dire che o $A \subseteq B$ oppure $B \subseteq A$, non ti risulta?

?? Prendi, come sottoinsiemi di $\mathbb R$, $A=[0,1]$ e $B=[1,2]$.

[aram1]

Scusami, hai ragionissima! Sarà il caldo di questi giorni che mi fa svarionare! Grazie mille!

[Principe2]

Non ti preoccupare! Qui fanno 15 gradi
Prego e buona sauna!