Relazioni tra insiemi

[DR1]

Una relazione tra insiemi è un sottoinsieme $ R $ del prodotto cartesiano.
Prodotto cartesiano: $ A X B := {(a,b) : a in A, b in B } $
Relazione tra insiemi: $ R sube A X B $
Due insiemi sono in relazione tra loro se $ (a,b) in R $ e si scrive $aRb$, se $A = B$ si scrive $ aRa$ (o $bRb$) e la relazione si dice su o in $A$ (o su o in $B$).
Quindi il prodotto cartesiano è una relazione tra insiemi ?
Che differenza c'è tra prodotto cartesiano e relazione tra insiemi ?

[Pappappero1]

Il prodotto cartesiano $A \times B$ è una particolare relazione tra insiemi, in cui ogni elemento di $A$ è in relazione con ogni elemento di $B$.

Una relazione è un sottoinsieme di $A \times B$; in sostanza, nel prodotto cartesiano prendi TUTTE le coppie di elementi in $A \times B$; in generale, in una relazione generica $R$, ne prendi solo alcune.

[DR1]

Dunque effettuando il prodotto cartesiano tra due insiemi $A X B$ si instaura una relazione tra di loro.

[gio73]

Ammetto tutta la mia ignoranza in materia, ma provo lo stesso a scrivere qualche parola.

Il prodotto cartesiano tra due insiemi è una operazione che ha come risultato un altro insieme i cui elementi sono tutte le possibili coppie ordinate che si ottengono mettendo come primo elemento un elemento del primo insieme e come secondo elemento un elemento del secondo insieme. Proviamo a fare un esempio

$A={rosa; garofano; viola del pensiero}$
$B={rosso, giallo; viola}$

$A$ è un insieme a cui appartengono i fiori elencati, mentre $B$ è l'insieme costituito da alcuni colori; se facciamo $A\timesB$ otteniamo
$A\timesB={(rosa; rosso);(rosa; giallo); (rosa; viola); (garofano; rosso); (garofano; giallo); (garofano; viola);(viola del pensiero; rosso); (viola del pensiero; giallo); (viola del pensiero; viola)}$

se stabiliamo la relazione $R$= inizia con la stessa lettera, allora non tutte le coppie soddisfano la relazione ma solo alcune
$(rosa; rosso); (garofano; giallo); (viola del pensiero; viola)$, un sottoinsieme di $A\timesB$

[Pappappero1]

Come ti ho detto sopra, il prodotto cartesiano e' una particolare relazione (se vogliamo, la piu' grande di tutte, in cui tutti gli elementi di $A$ sono in relazione con tutti gli elementi di $B$).

Tuttavia, il concetto di prodotto cartesiano, almeno in questo modo di approcciare la teoria, viene prima del concetto di relazione. Il prodotto cartesiano $A \times B$ e' l'insieme delle coppie $(a,b)$ con $a$ elemento di $A$ e $b$ elemento di $B$. Punto.

Dopo aver definito il prodotto cartesiano, si definisce la relazione, come sottoinsieme del prodotto cartesiano, dato da "alcune" (magari tutte, magari solo un po', magari nessuna) delle coppie che vivono in $A \times B$.