Relazioni simmetriche e antisimmetriche crisi !!
ciao a tutti sono in crisi, qualcuno mi può spiegare come dimostrare se una relazione è simmetrica o antisimmetrica ?
Ad esmpio prendiamo la relazione : $ x cc(R)y $ $ hArr $ $ EE $ $ d geq 0 $ $ x-y=d $ come dimostrare la R è transitiva simmetrica o antisimmetrica e riflessiva.
Io ho risolto cosi :
1) riflessiva $ x cc(R)x $ dimostrazione : $ x-x = d hArr d=o $ ( la relazione è riflessiva )
2) transitiva $ x cc(R) y and y cc(R)z rArr xcc(R)z $ dimostrazione: $ x=y+d and y=z+d' rArr x=z+(d+d') con d+d'= k; k in R rArr x=z+k $ ( R è transitiva)
3) ora ci sono problemi; come verificare che la relazione è simmetrica o/e antisimmetrica ?
io ho dimostrato così : affinchè sia simmetrica $ xRy = yRx rArr x-y=d ; y-x=-d $ e quindi R non è simmetrica (?). come dimostrare se R è antisimmetrica ?
Ad esmpio prendiamo la relazione : $ x cc(R)y $ $ hArr $ $ EE $ $ d geq 0 $ $ x-y=d $ come dimostrare la R è transitiva simmetrica o antisimmetrica e riflessiva.
Io ho risolto cosi :
1) riflessiva $ x cc(R)x $ dimostrazione : $ x-x = d hArr d=o $ ( la relazione è riflessiva )
2) transitiva $ x cc(R) y and y cc(R)z rArr xcc(R)z $ dimostrazione: $ x=y+d and y=z+d' rArr x=z+(d+d') con d+d'= k; k in R rArr x=z+k $ ( R è transitiva)
3) ora ci sono problemi; come verificare che la relazione è simmetrica o/e antisimmetrica ?
io ho dimostrato così : affinchè sia simmetrica $ xRy = yRx rArr x-y=d ; y-x=-d $ e quindi R non è simmetrica (?). come dimostrare se R è antisimmetrica ?
Risposte
"pipporossonero":
3) ora ci sono problemi; come verificare che la relazione è simmetrica o/e antisimmetrica ?
io ho dimostrato così : affinchè sia simmetrica $ xRy = yRx rArr x-y=d ; y-x=-d $ e quindi R non è simmetrica (?). come dimostrare se R è antisimmetrica ?
Non è simmetrica, ma non è detto che sia antisimmetrica... l'antisimmetria anzitutto c'entra con le relazioni d'ordine, la sua definizione dice che se [tex]x\mathcal R y[/tex] ed anche [tex]y\mathcal R x[/tex] allora [tex]x=y[/tex].
Qui osservi che se [tex]x\mathcal R y[/tex] ed anche [tex]y\mathcal R x[/tex] allora [tex]x-y=d \geq 0[/tex] ed anche [tex]y-x=-d \geq 0[/tex] ma allora necessariamente [tex]x-y=0[/tex], dunque la relazione è antisimmetrica.
grazie per la risposta, quindi basta mettere a sistema xRy e yRx e verificare che x=y per dire se è antisimmetrica giusto ?
Sì! Anche se il termine "a sistema" mi piace poco, meglio dire che devi considerarle entrambe 
ok grazie se ti posso disturbare l'ultima volta $ AA u =(x,y,z ),AA v=(x',y',z' ) : (uRv hArr EE h in R t.c x'=hx,y'=hy,z'=hz ) $ Ho verificato che x'=hx verifica uRv una relazione d'ordine ma ora devo anche verificare le altre??? o Basta quella per tutte?
Devi verificare tutte le proprietà, ovvero la riflessività, la transitività e la simmetria o l'antisimmetria.
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