Relazioni fra omomorfismo di gruppi

[Luca19961]

Salve, stavo cercando di risolvere un esercizio di algebra 1 sugli omomorfismi di gruppi, senza però riuscirne a venire a capo.
Il testo cita: "Siano $ f: G->G' $ un omomorfismo di gruppi e $H$ un sottogruppo di $G$. Si dimostri che $f^-1(f(H))=H*ker(f)$.
Non riesco a capire da dove partire per riuscire a dimostrarlo.
Grazie

[spugna2]

Devi semplicemente dimostrare che le condizioni di appartenenza ai due insiemi sono equivalenti. Cosa significa, ad esempio, $x \in f^{-1}(f(H))$?

$x \in f^{-1}(f(H)) \Leftrightarrow f(x) \in f(H) \Leftrightarrow \exists y \in H | f(x)=f(y) \Leftrightarrow \exists y \in H | y^{-1}x \in ker(f).$

Quest'ultima condizione è equivalente a $x \in H*ker(f)$ perché si può scrivere $x$ come $y*(y^{-1}x)$.

[Luca19961]

Avevo completamente confuso il significato di $kerf$ di un omomorfismo di gruppi. I tuoi passaggi esauriscono quindi la dimostrazione?