Relazioni e classi di equivalenza
Ciao a tutti, qualcuno può aiutarmi con l'ultima parte di questo esercizio (e nel frattempo controllare che non ho fatto errori)?
Nell'insieme $NN$x$NN$ si consideri la relazione
$(x_1,y_1)rho(x_2,y_2)$ se $5(x_1-x_2)+4(y_1-y_2)=0$
Provare che $rho$ è di equivalenza e trovare le classi di (0,0) e (4,4)
Soluzione
Riflessiva $(x_1,y_1)rho(x_1,y_1) Rightarrow 5(x_1-x_1)+4(y_1-y_1)=0 Rightarrow 5*0+4*0=0$
Simmetrica $(x_1,y_1)rho(x_2,y_2) Rightarrow 5(x_1-x_2)+4(y_1-y_2)=0 Rightarrow 5x_1-5x_2+4y_1-4y_2=0 Rightarrow -5(x_2-x_1)-4(y_2-y_1)=0 Rightarrow 5(x_2-x_1)+4(y_2-y_1)=0 Rightarrow (x_2,y_2)rho(x_1,y_1)$
Antisimmetrica
$(x_1,y_1)rho(x_2,y_2) wedge (x_2,y_2)rho(x_3,y_3) Rightarrow 5(x_1-x_2)+4(y_1-y_2)=0 wedge 5(x_2-x_3)+4(y_2-y_3)=0 Rightarrow 5x_1-5x_2+4y_1-4y_2+ 5x_2-5x_3+4y_2-4y_3=0 Rightarrow 5x_1-5x_3+4y_1-4y_3=0 Rightarrow 5(x_1-x_3)+4(y_1-y_3)=0 Rightarrow (x_1,y_1)rho(x_3,y_3)$
$[(0,0)]_rho={(x_1,x_2)in NN^2 | (x_1,y_1)rho(0,0)}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | 5x_1-0+4y_1-0=0}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | 5x_1+4y_1=0}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | x_1=+-4k wedge y_1=+-5k wedge x_1 $e $ y_1 $ sono discordi$}$
$[(4,4)]_rho={(x_1,y_1)in NN^2 | (x_1,y_1)rho(4,4)}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | 5x_1-20+4y_1-16=0}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | 5x_1+4y_1-36=0}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | x_1=y_1=4 vee (x_1=36 wedge y_2=-36)}$
E' corretto l'ultimo passaggio? C è qualche altro modo con il quale sarei potuto arrivarci?
Nell'insieme $NN$x$NN$ si consideri la relazione
$(x_1,y_1)rho(x_2,y_2)$ se $5(x_1-x_2)+4(y_1-y_2)=0$
Provare che $rho$ è di equivalenza e trovare le classi di (0,0) e (4,4)
Soluzione
Riflessiva $(x_1,y_1)rho(x_1,y_1) Rightarrow 5(x_1-x_1)+4(y_1-y_1)=0 Rightarrow 5*0+4*0=0$
Simmetrica $(x_1,y_1)rho(x_2,y_2) Rightarrow 5(x_1-x_2)+4(y_1-y_2)=0 Rightarrow 5x_1-5x_2+4y_1-4y_2=0 Rightarrow -5(x_2-x_1)-4(y_2-y_1)=0 Rightarrow 5(x_2-x_1)+4(y_2-y_1)=0 Rightarrow (x_2,y_2)rho(x_1,y_1)$
Antisimmetrica
$(x_1,y_1)rho(x_2,y_2) wedge (x_2,y_2)rho(x_3,y_3) Rightarrow 5(x_1-x_2)+4(y_1-y_2)=0 wedge 5(x_2-x_3)+4(y_2-y_3)=0 Rightarrow 5x_1-5x_2+4y_1-4y_2+ 5x_2-5x_3+4y_2-4y_3=0 Rightarrow 5x_1-5x_3+4y_1-4y_3=0 Rightarrow 5(x_1-x_3)+4(y_1-y_3)=0 Rightarrow (x_1,y_1)rho(x_3,y_3)$
$[(0,0)]_rho={(x_1,x_2)in NN^2 | (x_1,y_1)rho(0,0)}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | 5x_1-0+4y_1-0=0}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | 5x_1+4y_1=0}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | x_1=+-4k wedge y_1=+-5k wedge x_1 $e $ y_1 $ sono discordi$}$
$[(4,4)]_rho={(x_1,y_1)in NN^2 | (x_1,y_1)rho(4,4)}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | 5x_1-20+4y_1-16=0}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | 5x_1+4y_1-36=0}$
$={(x_1,x_2)in NN^2 | x_1=y_1=4 vee (x_1=36 wedge y_2=-36)}$
E' corretto l'ultimo passaggio? C è qualche altro modo con il quale sarei potuto arrivarci?
Risposte
Dalla definizione di relazione di equivalenza credo manchi di verificare la proprietà transitiva:
$ forall (x_1,y_1)(x_2,y_2) \in \mathbb{N}^2, (x_1,y_1)p(x_2,y_2), (x_2,y_2)p(x_3,y_3) \Rightarrow (x_1,y_1)p(x_3,y_3)$
mentre l'antisimmetrica credo sia irrilevante da controllare.
$ forall (x_1,y_1)(x_2,y_2) \in \mathbb{N}^2, (x_1,y_1)p(x_2,y_2), (x_2,y_2)p(x_3,y_3) \Rightarrow (x_1,y_1)p(x_3,y_3)$
mentre l'antisimmetrica credo sia irrilevante da controllare.
Hai ragione, per distrazione ho scritto "antisimmetrica" invece di "transitiva", infatti dovrei aver dimostrato quest'ultima. Per il resto non ci sono errori? Le classe di equivalenza le ho individuate correttamente? Grazie per la risposta.
Le tre proprietà sono corrette mi pare, per la determinazione delle due classi attenderei qualcuno più esperto di me
