Relazioni d'ordine ed elementi minimali,massimali
Salve ragazzi stavo cercando di capire una cosa riguardo alle relazioni d'ordini e riguardo al massimo,minimo,elemento minimale e massimale.
Se ho questo insieme ${2,3,4,5,6}$ al quale associamo la relazione di divisibilità $|$,
l'insieme non ammette nè massimo nè minimo, perchè?
Mentre quali sono gli elementi minimali e massimali?
Inoltre vorrei fare un'altra domanda
se siamo in $(N, <=)$ in questo caso il minimo è 0, mentre il massimo non esiste, ma ad esempio la prof. ci spiegò che ci sono casi in cui il minimo in $N$ è 0 ed il massimo è 1, in che caso?(quando cambia la relazione???)
Se ho questo insieme ${2,3,4,5,6}$ al quale associamo la relazione di divisibilità $|$,
l'insieme non ammette nè massimo nè minimo, perchè?
Mentre quali sono gli elementi minimali e massimali?
Inoltre vorrei fare un'altra domanda
se siamo in $(N, <=)$ in questo caso il minimo è 0, mentre il massimo non esiste, ma ad esempio la prof. ci spiegò che ci sono casi in cui il minimo in $N$ è 0 ed il massimo è 1, in che caso?(quando cambia la relazione???)
Risposte
Proviamo a ragionare sulla definizione di massimo: sia $A$ un insieme e sia $R$ una relazione d'ordine definito su $A$; allora $M in A$ è il massimo se $AAx in A$, $xRM$, mentre $m in A$ è il minimo se $AAx in A$, $mRx$.
Allora nel caso della relazione di "divisibilità" abbiamo che è definita quando un elemento $a$ è divisibile per un elemento $b$, ossia $a$ è un multiplo di $b$. Se proviamo a vedere quali elementi dell'insieme $A={2,3,4,5,6}$ rispettano la relazione di divisibilità ottieniamo il seguente sottoinsieme $R={(2,4),(2,6),(3,6)}$, quindi non tutti gli elementi di $A$ sono "interessati" dalla relazione e questo implica che non c'è un elemento $m$ (il minimo) che divide tutti gli elementi di $A$; analogo ragionamento per il massimo $M$.
Allora nel caso della relazione di "divisibilità" abbiamo che è definita quando un elemento $a$ è divisibile per un elemento $b$, ossia $a$ è un multiplo di $b$. Se proviamo a vedere quali elementi dell'insieme $A={2,3,4,5,6}$ rispettano la relazione di divisibilità ottieniamo il seguente sottoinsieme $R={(2,4),(2,6),(3,6)}$, quindi non tutti gli elementi di $A$ sono "interessati" dalla relazione e questo implica che non c'è un elemento $m$ (il minimo) che divide tutti gli elementi di $A$; analogo ragionamento per il massimo $M$.
poi dice che l'elemento minimale è 3 e poi c'è 5 che sia minimale che massimale, posso parlare di reticolo?
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