Relazioni di un insieme
Ma se considero una relazione R di equivalenza perchè posso dire che la sua relazione opposta è uguale a R?
Risposte
In che senso intendi?
R$sube$ AxA e relazione opposta : $f: A \to B
per la proprietà simmetrica delle relazioni di equivalenza.
...comunque l'inversa, non l'opposta (a meno che non la chiamiate così...)
...comunque l'inversa, non l'opposta (a meno che non la chiamiate così...)
AH OK PERCHè SCAMBIA GLI ELEMEnTI COME FA LA RELAZIONE INVERSA..
beh, nel senso che se c'è (x,y) allora c'è anche (y,x), e se ci sono entrambi, entrambi sono presenti anche nell'inversa...
se invece so che R è transitiva e riflessiva cosa posso dire sull'inversa?
Puoi dire che anche l'inversa è riflessiva e transitiva.
come fai a dirlo..io so solo che la relazione inversa scambia gli elementi di R ..
Riflessività di R vuol dire che ci sono tutte le coppie (x,x) e quindi evidentemente è riflessiva anche l'inversa di R.
Transitività di R vuol dire che se ci sono (x,y) e (y,z) allora c'è anche (x,z). Supponi che (a,b) e (b,c) siano nell'inversa di R, allora (b,a) e (c,b) sono in R che è transitiva quindi in R c'è anche (c,a) e quindi nell'inversa c'è (a,c).
Transitività di R vuol dire che se ci sono (x,y) e (y,z) allora c'è anche (x,z). Supponi che (a,b) e (b,c) siano nell'inversa di R, allora (b,a) e (c,b) sono in R che è transitiva quindi in R c'è anche (c,a) e quindi nell'inversa c'è (a,c).
hai ragione 
la riflessività è banale. la transitività non è così ovvia.
diciamo che se (a,b) è in R, e poi, a parte (a,a), (b,b) che sono in R, (b,a) può essere in R oppure no, ma se nessun altro elemento c è in relazione con a e b non è in relazione con alcun altro elemento d, non c'è nulla da verificare riguardo alla transitività...
se invece abbiamo (x,y) e (y,z) in R, e quindi anche (x,z) in R per la transitività, allora abbiamo, per definizione di relazione inversa, (y,x), (z,y), (z,x) nella relazione inversa: nel caso specifico, l'unica cosa da verificare è che essendo in relazione (z,y) e (y,x), deve risultare anche (z,x) in relazione, cosa che effettivamente risulta.
spero che Megan00b abbia una dimostrazione migliore di questa. io ho comunque provato a convincerti. ciao.
P.S.: sono arrivata tardi... e l'altra dimostrazione è arrivata mentre scrivevo tutto questo...
diciamo che se (a,b) è in R, e poi, a parte (a,a), (b,b) che sono in R, (b,a) può essere in R oppure no, ma se nessun altro elemento c è in relazione con a e b non è in relazione con alcun altro elemento d, non c'è nulla da verificare riguardo alla transitività...
se invece abbiamo (x,y) e (y,z) in R, e quindi anche (x,z) in R per la transitività, allora abbiamo, per definizione di relazione inversa, (y,x), (z,y), (z,x) nella relazione inversa: nel caso specifico, l'unica cosa da verificare è che essendo in relazione (z,y) e (y,x), deve risultare anche (z,x) in relazione, cosa che effettivamente risulta.
spero che Megan00b abbia una dimostrazione migliore di questa. io ho comunque provato a convincerti. ciao.
P.S.: sono arrivata tardi... e l'altra dimostrazione è arrivata mentre scrivevo tutto questo...
no su questo ho chiarito i miei dubbi..ne approfitto della vostra bonta 
se voglio dimostrare l'antisimetria? cioe se R antissimetrico aanche R inversa antisimettrica..
se voglio dimostrare l'antisimetria? cioe se R antissimetrico aanche R inversa antisimettrica..
Antisimmetria di R: se ci sono (a,b) e (b,a) allora a=b.
Antisimmetria di R inversa: pure.
BAsta?
Antisimmetria di R inversa: pure.
BAsta?
ok
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