Relazioni di equivalenza: interpretazione geometrica
Esercizio: Sia R una relazione definita nei reali. Possiamo considerare R come un sottoinsieme dei punti del piano (x, y). Spiegare il significato geometrico delle proprietà riflessiva e simmetrica.
Direi che:
- Se R è riflessiva, il luogo dei punti rappresentato da R contiene la bisettrice del primo e terzo quadrante
- Se R è simmetrica, il luogo dei punti rappresentato da R contiene a sua volta un luogo di punti simmetrico alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
È' corretto?
Se mi chiedessi inoltre quale interpretazione geometrica dare alla transitiva... ?
L'implicazione $xRy, yRz rarr xRz$ significa che se il luogo di punti cercato contiene la coppia (x, y) e la coppia (y, z), allora contiene anche la coppia (x, z)... ma questo non mi dice niente. Forse la transitiva non ha una descrizione geometrica "particolare": si può solo dire che, dati due punti del luogo geometrico rappresentato, tale luogo ne contiene anche un terzo le cui coordinate ecc. ecc. Ok?
Grazie
Direi che:
- Se R è riflessiva, il luogo dei punti rappresentato da R contiene la bisettrice del primo e terzo quadrante
- Se R è simmetrica, il luogo dei punti rappresentato da R contiene a sua volta un luogo di punti simmetrico alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
È' corretto?
Se mi chiedessi inoltre quale interpretazione geometrica dare alla transitiva... ?
L'implicazione $xRy, yRz rarr xRz$ significa che se il luogo di punti cercato contiene la coppia (x, y) e la coppia (y, z), allora contiene anche la coppia (x, z)... ma questo non mi dice niente. Forse la transitiva non ha una descrizione geometrica "particolare": si può solo dire che, dati due punti del luogo geometrico rappresentato, tale luogo ne contiene anche un terzo le cui coordinate ecc. ecc. Ok?
Grazie
Risposte
In un esercizio analogo, si chiede di determinare quali delle seguenti relazioni, definite nei reali, sono di equivalenza:
a. $P = {(s,s), s in R} $
b. $P = Phi$
c. P = luogo di punti tali che y = 0
d. P = luogo di punti tali che xy + 1 = 0
e. P = luogo di punti tali che $x^2y - xy^2 - x + y $ = 0
f. P = luogo.... $x^2-xy + 2x - 2y$ =0
Ho trovato:
a. Sì
b. si
c. no (non riflessiva...)
d. no (rifl., simm, ma non transitiva)
e. no: non transitiva
f. no: non riflessiva
Ma mi sembra strano che nemmeno una delle ultime 4 sia di equivalenza. Ho sbagliato?
a. $P = {(s,s), s in R} $
b. $P = Phi$
c. P = luogo di punti tali che y = 0
d. P = luogo di punti tali che xy + 1 = 0
e. P = luogo di punti tali che $x^2y - xy^2 - x + y $ = 0
f. P = luogo.... $x^2-xy + 2x - 2y$ =0
Ho trovato:
a. Sì
b. si
c. no (non riflessiva...)
d. no (rifl., simm, ma non transitiva)
e. no: non transitiva
f. no: non riflessiva
Ma mi sembra strano che nemmeno una delle ultime 4 sia di equivalenza. Ho sbagliato?
Salve jitter,
se non erro ti chiedono di valutare il grafico di una relazione, ma suppongo che dipenda dalla relazione e dall'insieme in cui è definita!!
Cordiali saluti
P.S.= data una relazione \( _A\mathfrak{f}_A \) binaria ovunque definita in \( A \), il grafico di \( \mathfrak{f} \) è \( \mathcal{G}_\mathcal{f}:=\{(a,b) \in A \times A| _a\mathfrak{f}_b \} \))
se non erro ti chiedono di valutare il grafico di una relazione, ma suppongo che dipenda dalla relazione e dall'insieme in cui è definita!!
Cordiali saluti
P.S.= data una relazione \( _A\mathfrak{f}_A \) binaria ovunque definita in \( A \), il grafico di \( \mathfrak{f} \) è \( \mathcal{G}_\mathcal{f}:=\{(a,b) \in A \times A| _a\mathfrak{f}_b \} \))
ciao Garnak, sono d'accordo sul grafico. Quindi luogo di punti non è adatto come termine, meglio "grafico".
L'insieme in cui ė definitita la relazione è R.
La relazione è definita dal suo grafico.
Sul come determinare se la relazione a cui si riferisce, ho verificato se:
- sostituendo la x alla y e viceversa la y alla x l'equazione non cambia, e in questo caso vale la simmetrica
- sostituendo alla x la y l'equazione non cambia, e in questo caso vale la riflessiva
- il sistema formato da due equazioni, una nelle variabili x, y e l'altra nelle variabili y, z dà luogo alla stessa equazione nelle variabili x, z (e allora vale la transitiva)
magari domani riporto i calcoli...
L'insieme in cui ė definitita la relazione è R.
La relazione è definita dal suo grafico.
Sul come determinare se la relazione a cui si riferisce, ho verificato se:
- sostituendo la x alla y e viceversa la y alla x l'equazione non cambia, e in questo caso vale la simmetrica
- sostituendo alla x la y l'equazione non cambia, e in questo caso vale la riflessiva
- il sistema formato da due equazioni, una nelle variabili x, y e l'altra nelle variabili y, z dà luogo alla stessa equazione nelle variabili x, z (e allora vale la transitiva)
magari domani riporto i calcoli...
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