Relazioni di equivalenza e modulo r
Salve a tutti,
stavo studiando le relazioni di equivalenza ed i rispettivi moduli r.
Però non mi ci sto trovando molto, non riesco a capire bene cosa sia modulo r e la cosa in se mi pare molto fumosa.
Sapreste darmi qualche suggerimento e qualche esercizio svolto/da svolgere per capirne di più?
stavo studiando le relazioni di equivalenza ed i rispettivi moduli r.
Però non mi ci sto trovando molto, non riesco a capire bene cosa sia modulo r e la cosa in se mi pare molto fumosa.
Sapreste darmi qualche suggerimento e qualche esercizio svolto/da svolgere per capirne di più?
Risposte
Pensa alle ore del tuo orologio, pensa di dover svolgere tutte le operazioni che conosci (somma, moltiplicazione) usando solo i movimenti dell'orologio. Le classi resto sono le ore da 0 a 11 ed il modulo è 12.
Prova a pensarci un poco su
Prova a pensarci un poco su
ma quindi le classi di equivalenza in modulo R hanno un qualche legame anche con il metodologia di contare "per eccesso" (che si utilizza in informatica, ad esempio ecco 8, eccesso 4, ecc ?)
molto banalmente considera un numero $n$, ne fai la divisione euclidea (quella con resto) per $r$ ed otterrai un certo resto.
La relazione di equivalenza altro non fa che identificare tali numeri con il resto della divisione.
consideriamo ad esempio $r=5$ e $n=7$ si ha che il resto di tale divisione è $2$ si dirà quindi che $7-=2$ $mod$$5$
ora senza variare il modulo consideriamo $n=12$ il resto di tale divione è sempre $2$ pertanto $12-=2$ $mod$$5$
e così via per ogni numero naturale
ora se ci pensi un attimo i possibili resti della divisione per $5$ possono essere $0,1,2,3,4$ ecco quindi che questi resti, diciamo "preferenziali", sono detti rappresentanti canonici della tua relazione di congruenza modulo $r$
prova a pensarci un pò, spero di essere stato chiaro, altrimenti chiedi pure!
La relazione di equivalenza altro non fa che identificare tali numeri con il resto della divisione.
consideriamo ad esempio $r=5$ e $n=7$ si ha che il resto di tale divisione è $2$ si dirà quindi che $7-=2$ $mod$$5$
ora senza variare il modulo consideriamo $n=12$ il resto di tale divione è sempre $2$ pertanto $12-=2$ $mod$$5$
e così via per ogni numero naturale
ora se ci pensi un attimo i possibili resti della divisione per $5$ possono essere $0,1,2,3,4$ ecco quindi che questi resti, diciamo "preferenziali", sono detti rappresentanti canonici della tua relazione di congruenza modulo $r$
prova a pensarci un pò, spero di essere stato chiaro, altrimenti chiedi pure!
Effettivamente con un applicazione pratica di questo genere la cosa acquisisce decisamente più senso.
Quindi nel tuo esempio abbiamo due numeri: $r=5, n=7$ interi, quindi $7$ diviso $5$ per ottenere sempre un intero mi da resto pari a $2$
Proseguendo tieni fisso $r=5$ ma prendi un'altra n ovvero $n=12$ e quindi $12$ diviso $5$ da sempre resto pari a $2$
Questo significa che sia 7 che 12 soddisfano la relazione di equivalenza con 5 e lo esprimi come "mod5". Quei 3 trattini però non li ho mai visti e non so come si leggono.
Proseguendo però mi stai dicendo che questa relazione di equivalenza ci da tutti i numeri che messi in relazione con 5 danno resto 2?
Ovvero possiamo dire che [5]r = [7]r=[12]r? o sto facendo confusione? ovvero non avrò un insieme quziente formato dai vari elementi di questa classe in modo tale che ognuno sarà in relazione di equivalenza con l'altro?
I rappresentanti canonici invece cosa sarebbero? non mi sono molto chiari, forse non l iabbiamo affrontati o magari li denotava in altro modo.
Quindi nel tuo esempio abbiamo due numeri: $r=5, n=7$ interi, quindi $7$ diviso $5$ per ottenere sempre un intero mi da resto pari a $2$
Proseguendo tieni fisso $r=5$ ma prendi un'altra n ovvero $n=12$ e quindi $12$ diviso $5$ da sempre resto pari a $2$
Questo significa che sia 7 che 12 soddisfano la relazione di equivalenza con 5 e lo esprimi come "mod5". Quei 3 trattini però non li ho mai visti e non so come si leggono.
Proseguendo però mi stai dicendo che questa relazione di equivalenza ci da tutti i numeri che messi in relazione con 5 danno resto 2?
Ovvero possiamo dire che [5]r = [7]r=[12]r? o sto facendo confusione? ovvero non avrò un insieme quziente formato dai vari elementi di questa classe in modo tale che ognuno sarà in relazione di equivalenza con l'altro?
I rappresentanti canonici invece cosa sarebbero? non mi sono molto chiari, forse non l iabbiamo affrontati o magari li denotava in altro modo.
Oggi ha ripreso questo argomento e ha spiegato proprio il vostro esempio, ed ora mi è un pò più chiaro, benchè sto cercando di risolvere da me un esercizio e mi blocco più che altro nel "formalizzarlo".
Devo calcolare le classi di equivalenza ed il quoziente del seguente esercizio (che poi una classe di equivalenza non è la stessa cosa che una partizione? o è la classe quoziente ad essere simile ad una partizione?):
$R sube ZZxZZ$
$xRy \Leftrightarrow 5|3x+2y$
Quindi sia $x in ZZ$
$[x]_R = {y in ZZ | yRx}$ che equivale a dire che ${y in ZZ$ t.c $5|3x+2y}$
Come traduco che $3x+2y$ devono essere multipli di 5? posso dire semplicemente che se li divido per $5$, esendo in $ZZ$ la divisione mi deve dare resto pari a 0.
Detto questo quali sono le possibili classi di equivalenza? posso dire che queste possibili classi di equivalenza sono:
1. Quella formata da coppie ordinate di numeri multipli di 5;
2. Quella formata da coppie ordinate di numeri uguali non multipli di 5;
Come lo formalizzo? secondo la spiegazione prendo il primo esponente di ogni classe e cerco di dire "che regole segue", ossia:
Con X multiplo di 5:
$[x]_R = {y in ZZ$ T.c $y=5*h$ con $h in ZZ}$
Con X non muliplo di 5 tutti uguali:
Questa non saprei descriverla e se ci penso bene c'è anche una terza classe di coppie ordinate che pur non essendo multipli, ed essendo numeri diversi, danno un risultato valido.
Ad esempio: se metto $x=6$ ed $y= 11$ pur non essendo diversi ottengo $3*6+2*11$ che è pari a $40$ ed è multiplo di $5$.
Sapreste darmi qualche dritta?
Devo calcolare le classi di equivalenza ed il quoziente del seguente esercizio (che poi una classe di equivalenza non è la stessa cosa che una partizione? o è la classe quoziente ad essere simile ad una partizione?):
$R sube ZZxZZ$
$xRy \Leftrightarrow 5|3x+2y$
Quindi sia $x in ZZ$
$[x]_R = {y in ZZ | yRx}$ che equivale a dire che ${y in ZZ$ t.c $5|3x+2y}$
Come traduco che $3x+2y$ devono essere multipli di 5? posso dire semplicemente che se li divido per $5$, esendo in $ZZ$ la divisione mi deve dare resto pari a 0.
Detto questo quali sono le possibili classi di equivalenza? posso dire che queste possibili classi di equivalenza sono:
1. Quella formata da coppie ordinate di numeri multipli di 5;
2. Quella formata da coppie ordinate di numeri uguali non multipli di 5;
Come lo formalizzo? secondo la spiegazione prendo il primo esponente di ogni classe e cerco di dire "che regole segue", ossia:
Con X multiplo di 5:
$[x]_R = {y in ZZ$ T.c $y=5*h$ con $h in ZZ}$
Con X non muliplo di 5 tutti uguali:
Questa non saprei descriverla e se ci penso bene c'è anche una terza classe di coppie ordinate che pur non essendo multipli, ed essendo numeri diversi, danno un risultato valido.
Ad esempio: se metto $x=6$ ed $y= 11$ pur non essendo diversi ottengo $3*6+2*11$ che è pari a $40$ ed è multiplo di $5$.
Sapreste darmi qualche dritta?
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