Relazioni di equivalenza e classi di equivalenza

[s.capone7]

Ciao ragazzi volevo sapere se ho svolto bene questo esercizio e se ho capito il concetto di classe di equivalenza!

Sia X=Z14 (14 in pedice), si consideri in X la seguente relazione:

(a, b) ∈ R ⇔ ∃h ∈ X tale che a − b = 4h.

-Dimostrare che e R è una rel. d'equivalenza
-Determinare tutte le classi di equivalenza di ogni x∈X.

Ho proseguito cosi:

Ovviamente per essere una relazione d'equivalenza R deve essere riflessiva, simmetrica e transitiva.
- Riflessiva:
Sia a ∈ X, ∃h=0 ∈ X tale che a − a = 4h. Infatti a-a è sicuramente 0 e 4 per 0 fa zero. R è riflessiva.

- Simmetrica:
Siano a,b ∈ X, se a − b = 4h => - (a − b) = -4h. Dunque b - a = 4t, con t=-h. R è simmetrica.

- Transitiva:
Siano a,b,c ∈ X, se a − b = 4h e b - c = 4h allora sommando le due uguaglianze si ha:
a - b + b - c = 4h + 4h => a - c = 4(h+h) => a - c = 4t, con t=2h.

Determiniamo ora le classi di equivalenza in X.
[0] = a - 0 = 4h
a=4h => a≡0(mod. 4).
Dunque tutti i numeri che danno resto 0 nella divisione per 4.
Quindi [0]= {x∈ X t.c. a=4h} = {...4, -4, 8, -8, 12, -12 , 16, - 16 ..}

[1] = a - 1 = 4h
a=4h+1 => a≡1(mod. 4).
Dunque tutti i numeri che danno resto 1 nella divisione per 4.
Quindi [1]= {x∈ X t.c. a=4h+1} = {...5, -5, 9, -9, 13, -13 , 17, - 17 ..}

[2] = a - 2 = 4h
a=4h+2 => a≡2(mod. 4).
Dunque tutti i numeri che danno resto 2 nella divisione per 4.
Quindi [1]= {x∈ X t.c. a=4h+2} = {...6, -6, 10, -10, 14, -14 , 18, - 18 ..}

[3] = a - 3 = 4h
a=4h+3 => a≡3(mod. 4).
Dunque tutti i numeri che danno resto 3 nella divisione per 4.
Quindi [1]= {x∈ X t.c. a=4h+2} = {...7, -7, 11, -11, 15, -15 , 19, - 19 ..}
In Z14 ci sono 4 classi di equivalenza.

Ho sbagliato qualcosa? Sopratutto nello scrivere le cose? o è matematicamente accettabile?
Grazie in anticipo!

[gugo82]

Guarda che $mathcal(R)$ è una relazione in $ZZ_(14)$, non in $ZZ$.

[s.capone7]

"gugo82":Guarda che $mathcal(R)$ è una relazione in $ZZ_(14)$, non in $ZZ$.

Oh cielo.. quindi come dovrei impostare l'esercizio?

[gugo82]

Innanzitutto, mi chiederei chi sono i multipli di $bar(4)$ in $ZZ_(14)$.

[s.capone7]

"gugo82":Innanzitutto, mi chiederei chi sono i multipli di $bar(4)$ in $ZZ_(14)$.

Zn sarebbe l'insieme delle classi di resto modulo n giusto? Quindi in questo caso Z14 sarebbe l'insieme delle classi da 0 a 13. E i multipli di 4 sono le classi [0], [4], [8] e [12]?

Quello che non capisco inoltre è la relazione è a-b=4h. Non sarebbe una congruenza? Ovvero a=b(mod 4)?? E se così fosse io starei provando che R è una congruenza in modulo 4 dentro l'insieme delle classi di resto modulo 14?

[gugo82]

"s.capone7":[quote="gugo82"]Innanzitutto, mi chiederei chi sono i multipli di $bar(4)$ in $ZZ_(14)$.

Zn sarebbe l'insieme delle classi di resto modulo n giusto?[/quote]
Già.

"s.capone7":Quindi in questo caso Z14 sarebbe l'insieme delle classi da 0 a 13.

Già.

"s.capone7":E i multipli di 4 sono le classi [0], [4], [8] e [12]?

No, non solo.

"s.capone7":Quello che non capisco inoltre è la relazione è a-b=4h. Non sarebbe una congruenza? Ovvero a=b(mod 4)?? E se così fosse io starei provando che R è una congruenza in modulo 4 dentro l'insieme delle classi di resto modulo 14?

Già.