Relazioni di equivalenza e applicazioni iniettive

[Cantor99]

"Sia $S$ un insieme e $\epsilon(S)$ l'insieme delle relazioni di equivalenza in $S$. Provare che esiste un'applicazione iniettiva di $\epsilon(S)$ in $P(P(S))$"

Ho costruito questa applicazione:
$\phi: R in \epsilon(S) ->{F} in P(P(S))$
Dove $F$ è la partizione individuata da $R$.
Dovrei avere
$\phi(R)=\phi(R') <=> {F}={F'} <=> F=F' <=> R=R'$
Dunque $\phi$ è ben definita e iniettiva. D'altra parte per un teorema ad ogni partizione è associata una e una sola relazione di equivalenza, quindi $\phi$ dovrebbe essere anche biettiva.

Può andare?
Grazie

[killing_buddha]

La funzione che hai definito non è suriettiva su tutto $PPS$; la ragione è semplice, ad esempio posso scegliere una famiglia di sottoinsiemi di $PS$ che non è una partizione (ossia tale che almeno due elementi si intersecano non nel vuoto). Ora, una domanda intelligente è: la funzione è biiettiva sulle partizioni? Cioè, data una partizione, essa è la partizione associata a una relazione di equivalenza? Pensaci.

[Cantor99]

Non è suriettiva, hai completamente ragione. Tra l'altro l'applicazione l'ho presa anche in analogia con $g : x in S ->{x} in P(S)$ e questo mi suggerisce che non esistano applicazioni suriettive di $\epsilon(S)$ in $P(P(S))$, anche se non saprei come procedere.

In ogni caso la risposta alla tua domanda potrebbe risiedere in un teorema studiato "sia $S$ un insieme e $F$ una partizione di $S$. Allora esiste una relazione $R_F$ tale che $S/R_F=F$"
Tale relazione dovrebbe essere così fatta: $x,y in S$ pongo $xR_Fy$ se e solo $x,y$ appartengono allo stesso elemento $X$ di $F$

Spero di aver risposto giusto !