Relazioni di equivalenza

[aram1]

Quello su cui ho qualche dubbio è un caso limite e magari è solo questione di convenzioni: si può definire una relazione di equivalenza sull'insieme vuoto?

[Kashaman]

Ti do ragione sulla questione di convenzione.. in effetti, se ci pensi bene una relazione di equivalenza non avrebbe molto senso su insieme privo di elementi .
Per definizione si pone $A$ insieme non vuoto, si fissa una relazione $R$, si danno le tre proprietà di cui deve godere..
Il fulcro è proprio il termine di relazione, si necessita di almeno di due elementi...

[garnak.olegovitc1]

Salve Kashaman,

"Kashaman":Ti do ragione sulla questione di convenzione.. in effetti, se ci pensi bene una relazione di equivalenza non avrebbe molto senso su insieme privo di elementi .
Per definizione si pone $A$ insieme non vuoto, si fissa una relazione $R$, si danno le tre proprietà di cui deve godere..
Il fulcro è proprio il termine di relazione, si necessita di almeno di due elementi...

però non puoi negare che l'insieme vuoto sia una relazione ... sarebbe interessante sapere che tipo di relazione!
E' ovvio che se poni nella def. "diverso dall'insieme vuoto" allora porsi una simile domanda è del tutto inutile...

Cordiali saluti

[Kashaman]

"garnak.olegovitc":Salve Kashaman,

[quote="Kashaman"]Ti do ragione sulla questione di convenzione.. in effetti, se ci pensi bene una relazione di equivalenza non avrebbe molto senso su insieme privo di elementi .
Per definizione si pone $A$ insieme non vuoto, si fissa una relazione $R$, si danno le tre proprietà di cui deve godere..
Il fulcro è proprio il termine di relazione, si necessita di almeno di due elementi...

però non puoi negare che l'insieme vuoto sia una relazione ... sarebbe interessante sapere che tipo di relazione!
E' ovvio che se poni nella def. "diverso dall'insieme vuoto" allora porsi una simile domanda è del tutto inutile...

Cordiali saluti[/quote]
Beh, si hai ragione garnak, in fondo se $R$ è una relazione. $A$ un insieme,
$R sube A\timesA$ ed ha senso definire il sottoinsieme dell'insieme vuoto.
Per questo dico, dipende molto dalla convenzione.

[gundamrx91-votailprof]

Siano [tex]A \ne \emptyset, B \ne \emptyset[/tex]:
[tex]R \subseteq A \times B := \{ (a,b) | a \in A \land b \in B \}[/tex]

Siano [tex]A = \emptyset, B = \emptyset[/tex]:
[tex]R \subseteq A \times B := \{ \} = \emptyset[/tex]

Se ne primo caso abbiamo una certa probabilità di trovare delle coppie ordinate che soddisfano almeno una proprietà delle relazioni, nel secondo caso quali proprietà riusciamo a soddisfare?