Relazioni di Equivalenza
Ciao a tutti,
Vi scrivo perchè vorrei il vostro aiuto ca. un esercizio di algebra relativo alle relazioni di equivalenza.
Trattasi che ho in R2 - [0,0] una relazione di equivalenza p così definita:
( a b )
(a,b)p(c,d) <=> det ( c d ) = 0
(Spero si capisca che è una matrice).
Devo verificare che è una relazione di equivalenza su R2 - [0,0]
In particolare non riesco a ricostruire la dimostrazione della proprietà transitiva. Nelle spiegazioni si accenna a due opzioni d = 0 e d diverso da 0, per cui si procede alla risoluzione di un sistema lineare. Ma non mi è chiaro come si è giunti ad impostare il sistema lineare.
In dettaglio per d diverso da 0 il sistema è :
adf = bcf
bcf = bde
per d = 0 invece diventa :
ade = bce
acf = ade
Ora mi è chiaro perchè è transitiva ma non riesco a capire da dove saltano fuori i sistemi linerari, da quali passaggi per d= 0 e per d diverso da 0.
Se avete qualche risposta vi sarei grato
Emanuele
Vi scrivo perchè vorrei il vostro aiuto ca. un esercizio di algebra relativo alle relazioni di equivalenza.
Trattasi che ho in R2 - [0,0] una relazione di equivalenza p così definita:
( a b )
(a,b)p(c,d) <=> det ( c d ) = 0
(Spero si capisca che è una matrice).
Devo verificare che è una relazione di equivalenza su R2 - [0,0]
In particolare non riesco a ricostruire la dimostrazione della proprietà transitiva. Nelle spiegazioni si accenna a due opzioni d = 0 e d diverso da 0, per cui si procede alla risoluzione di un sistema lineare. Ma non mi è chiaro come si è giunti ad impostare il sistema lineare.
In dettaglio per d diverso da 0 il sistema è :
adf = bcf
bcf = bde
per d = 0 invece diventa :
ade = bce
acf = ade
Ora mi è chiaro perchè è transitiva ma non riesco a capire da dove saltano fuori i sistemi linerari, da quali passaggi per d= 0 e per d diverso da 0.
Se avete qualche risposta vi sarei grato
Emanuele
Risposte
Benvenuto emanuele78!
Come prima cosa, ti consiglio di guardare qui... E' bene saper scrivere chiaramente le formule, altrimenti ciò che chiedi potrebbe essere incomprensibile...
Per esempio, ti riferisci al determinante di una matrice 1X2?!
Come prima cosa, ti consiglio di guardare qui... E' bene saper scrivere chiaramente le formule, altrimenti ciò che chiedi potrebbe essere incomprensibile...
Per esempio, ti riferisci al determinante di una matrice 1X2?!
Ciao Dorian, ti ringrazio per il link alla metodologia di scrittura, vediamo se riesco a scrivere cosa intendo dire. : - )
Allora, ho una relazione di equivalenza (a,b)p(c,d) $hArr$ det $[[a,b],[c,d]]$ = 0;
devo dimostrare che p è una relazione di equivalenza in R2 - [0,0]
In particolare sto trovando difficoltà a capire i passaggi che mi portano a dimostrare che p è transitiva cioè che:
${((a b)p(c d)),((c d)p(e f)):} $ $ => $ $ (ab)p(ef) $
Soluzione dal libro:
Per ipotesi , ${(ad = bc),( cf = de):} $ Si hanno due possibilità $d$ $=$ $0$, oppure $d$ $!=$ $0$
Se $d$ $!=$ $0$, ${(adf = bcf),( bcf = bde):} $ ecc ecc..............................................................
Se $d$ $=$ $0$, ${(ade = bce),( acf = ade):} $ ecc ecc ...........................................................
Ciò che non capisco io è come si è derivato il 1° ed il 2° sistema lineare rispettivamente per $d$ $!=$ $0$ e per $d$ $=$ $0$
Lo so magari può sembrare banale, ma veramente non capisco i passaggi, se mi toglieste dall'incertezza potrei passare avanti, : - )
Grazie ancora
Emanuele
PS.
Spero che adesso si capisca.
Allora, ho una relazione di equivalenza (a,b)p(c,d) $hArr$ det $[[a,b],[c,d]]$ = 0;
devo dimostrare che p è una relazione di equivalenza in R2 - [0,0]
In particolare sto trovando difficoltà a capire i passaggi che mi portano a dimostrare che p è transitiva cioè che:
${((a b)p(c d)),((c d)p(e f)):} $ $ => $ $ (ab)p(ef) $
Soluzione dal libro:
Per ipotesi , ${(ad = bc),( cf = de):} $ Si hanno due possibilità $d$ $=$ $0$, oppure $d$ $!=$ $0$
Se $d$ $!=$ $0$, ${(adf = bcf),( bcf = bde):} $ ecc ecc..............................................................
Se $d$ $=$ $0$, ${(ade = bce),( acf = ade):} $ ecc ecc ...........................................................
Ciò che non capisco io è come si è derivato il 1° ed il 2° sistema lineare rispettivamente per $d$ $!=$ $0$ e per $d$ $=$ $0$
Lo so magari può sembrare banale, ma veramente non capisco i passaggi, se mi toglieste dall'incertezza potrei passare avanti, : - )
Grazie ancora
Emanuele
PS.
Spero che adesso si capisca.
Gentilissimo!
Veniamo ora al problema: se permetti, io dimostrerei il fatto così...
Date le coordinate (nella base canonica...) di 3 vettori $v,w,u in RR^(2*)$
$v=((a),(b))$ , $w=((c),(d))$ , $u=((e),(f))$
abbiamo, per ipotesi, che:
$v$p$w$ e $w$p$u$, cioè che
$det((ab),(cd)) =0$ e $det((cd),(ef))=0$ (*). Dimostriamo che $det((ab),(ef))=0$ (cioè che $v$p$u$):
siccome vale (*), esistono $lambda, mu in RR^*$ tali che $v=lambdaw$ e $w=muu$ (il determinante è nullo, dunque le righe della matrice sono proporzionali...) e quindi:
$v=lambdamuu$, cioè $v$ e $u$ sono proporzionali, dunque:
$det((ab),(ef))=0$
Si osservi che l'insieme $RR^(2*)/p uu [0]$, i cui elementi sono le classi d'equivalenza $[v]={w in RR^(2*): v$p$w}$ e $[0]=<0_(RR^2)>$ è quello che usualmente si chiama "Spazio Proiettivo Punteggiato associato a $R^2$ (infatti $v$p$w$ sse $v$,$w$ sono proporzionali...)
N.B.: $R^*$ è l'insieme dei reali non nulli.
$R^(2*)$ è l'insieme dei vettori di $R^2$ a coordinate non tutte nulle.
Veniamo ora al problema: se permetti, io dimostrerei il fatto così...
Date le coordinate (nella base canonica...) di 3 vettori $v,w,u in RR^(2*)$
$v=((a),(b))$ , $w=((c),(d))$ , $u=((e),(f))$
abbiamo, per ipotesi, che:
$v$p$w$ e $w$p$u$, cioè che
$det((ab),(cd)) =0$ e $det((cd),(ef))=0$ (*). Dimostriamo che $det((ab),(ef))=0$ (cioè che $v$p$u$):
siccome vale (*), esistono $lambda, mu in RR^*$ tali che $v=lambdaw$ e $w=muu$ (il determinante è nullo, dunque le righe della matrice sono proporzionali...) e quindi:
$v=lambdamuu$, cioè $v$ e $u$ sono proporzionali, dunque:
$det((ab),(ef))=0$
Si osservi che l'insieme $RR^(2*)/p uu [0]$, i cui elementi sono le classi d'equivalenza $[v]={w in RR^(2*): v$p$w}$ e $[0]=<0_(RR^2)>$ è quello che usualmente si chiama "Spazio Proiettivo Punteggiato associato a $R^2$ (infatti $v$p$w$ sse $v$,$w$ sono proporzionali...)
N.B.: $R^*$ è l'insieme dei reali non nulli.
$R^(2*)$ è l'insieme dei vettori di $R^2$ a coordinate non tutte nulle.
Intanto grazie per la dimostrazione che devo effettivamente dire è molto elegante, (Tra l'altro non avevo mai sentito parlare degli Spazi Proiettivi Punteggiati, ma sono ancora alle prime armi : - ) ). In pratica tu osservi da $ det = 0$ che le classi di equivalenza modulo p $[v]p$ sono costituite da tutti quei vettori linearmente dipendenti ad $(((a),(b)))$, ovvero che possono essere espressi come combinazione lineare del primo vettore, direi geniale come dimostrazione. Ripeto molto elegante, tuttavia presuppone che si sappia qualcosa di algebra lineare. : - )
Ciò detto Dorian.
Io quello che non capisco, molto, se vuoi, più banalmente, sono i passaggi che mi portano al al 1° e 2° sistema lineare. (viste le tue indubbie capacità potresti aiutarmi : - ) !!!!)
Ad esempio per $d = 0$, come ottiene il sistema suddetto???
Lo so che c'entra poco con la proprietà transitiva, è che vorrei capire i passaggi che portano al formarsi di quei due sistemi lineare e che ci impazzisco da oggi pomeriggio.
Considerando che ho l'esame a settembre potrei farcela : - )
In ogni caso grazie e brava/o..
PS.
Per sola curiosità tua e di tutti quelli che partecipano al forum posto la soluzione dal libbro:
Per $d$ $!=$ $0$ ${(abf=bcf),(bcf=bde):}$ da cui $adf$ $ = $ $bde $. Quindi $d(af-be) = 0$, da cui $af-be = 0$ essendo $d$ $!=$ $0$ ;
Per $d$ $=$ $0$ ${(ade=bce),(acf=ade):}$ da cui $bce$ $ = $ $acf $. Quindi $c(af-be) = 0$, da cui $af-be = 0$ essendo $c$ $!=$ $0$, poichè $d$ $=$ $0$;
$hArr$ $(a,b)p(e,f)$
Emanuele
Ciò detto Dorian.
Io quello che non capisco, molto, se vuoi, più banalmente, sono i passaggi che mi portano al al 1° e 2° sistema lineare. (viste le tue indubbie capacità potresti aiutarmi : - ) !!!!)
Ad esempio per $d = 0$, come ottiene il sistema suddetto???
Lo so che c'entra poco con la proprietà transitiva, è che vorrei capire i passaggi che portano al formarsi di quei due sistemi lineare e che ci impazzisco da oggi pomeriggio.
Considerando che ho l'esame a settembre potrei farcela : - )
In ogni caso grazie e brava/o..
PS.
Per sola curiosità tua e di tutti quelli che partecipano al forum posto la soluzione dal libbro:
Per $d$ $!=$ $0$ ${(abf=bcf),(bcf=bde):}$ da cui $adf$ $ = $ $bde $. Quindi $d(af-be) = 0$, da cui $af-be = 0$ essendo $d$ $!=$ $0$ ;
Per $d$ $=$ $0$ ${(ade=bce),(acf=ade):}$ da cui $bce$ $ = $ $acf $. Quindi $c(af-be) = 0$, da cui $af-be = 0$ essendo $c$ $!=$ $0$, poichè $d$ $=$ $0$;
$hArr$ $(a,b)p(e,f)$
Emanuele
Per $d!=0$ si moltiplicano ambo i membri della prima uguaglianza per $f$, i membri della seconda per $b$. Quindi si fa un confronto...
Lascio a te il caso $d=0$.
Lascio a te il caso $d=0$.
Ciao
ok, avevo intuito che per $d$ $!=$ $0$, si moltiplicava i mebri della prima equazione del sistema lineare per $f$, ed i membri delle seconda equazione per $b$, e così per $d$ $=$ $0$ si moltiplica i membri della prima per $e$ ed i membri della seconda per $a$. Ma mi sfugge la relazione cle lega questa operazione ai casi $d$ $!=$ $0$ e $d$ $=$ $0$.
Grazie cmq
Emanuele
ok, avevo intuito che per $d$ $!=$ $0$, si moltiplicava i mebri della prima equazione del sistema lineare per $f$, ed i membri delle seconda equazione per $b$, e così per $d$ $=$ $0$ si moltiplica i membri della prima per $e$ ed i membri della seconda per $a$. Ma mi sfugge la relazione cle lega questa operazione ai casi $d$ $!=$ $0$ e $d$ $=$ $0$.
Grazie cmq
Emanuele
"emanuele78":
Ciao
ok, avevo intuito che per $d$ $!=$ $0$, si moltiplicava i mebri della prima equazione del sistema lineare per $f$, ed i membri delle seconda equazione per $b$, e così per $d$ $=$ $0$ si moltiplica i membri della prima per $e$ ed i membri della seconda per $a$. Ma mi sfugge la relazione cle lega questa operazione ai casi $d$ $!=$ $0$ e $d$ $=$ $0$.
Grazie cmq
Emanuele
Se $d=0$ non si può fare la seguente deduzione:
$d(af-be)=0 => af-be=0$.
Si deve quindi procedere in un'altra maniera per dimostrare quel caso specifico!
Adesso è chiaro?
Ok, pensavo che vi fosse una spiegazione decisamente più complessa, una sorta di derivazione di quel sistema lineare. In pratica quindi si procede per esclusione. Allora è vero "Simplex Sigillum Veri".
Grazie tante.
Emanuele
Grazie tante.
Emanuele
"emanuele78":
Ok, pensavo che vi fosse una spiegazione decisamente più complessa, una sorta di derivazione di quel sistema lineare. In pratica quindi si procede per esclusione. Allora è vero "Simplex Sigillum Veri".
Grazie tante.
Emanuele
Si usa la legge di annullamento del prodotto:
$a,b in RR$ , $ab=0$ e $a!=0$ implica $b=0$
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