Relazioni di Equivalenza

[sabri182]

Salve ragazzi,
non mi è ben chiara la dimostrazione per cui una relazione è di equivalenza.
Prendo in esempio questo esercizio:

Sia assegnata la relazione \(\displaystyle p ⊂ Z x Z \) \(\displaystyle tale \) \(\displaystyle che \) \(\displaystyle ∀ \) \(\displaystyle a, b ∈ Z \)
\(\displaystyle apb ⇔ 11 |(7a + 4b) \)
(1) Verificare che \(\displaystyle p \) è una relazione di equivalenza.
(2) Determinare la classe di equivalenza \(\displaystyle [5]p \).

Per poter dimostrare che questa è una relazione di equivalenza devo prima accertarmi che essa sia riflessiva, simmetrica e transitiva.
Per la riflessiva la risolverei così (correggetemi per favore se sbaglio):
\(\displaystyle apb \) \(\displaystyle ⇔ \) \(\displaystyle apa \)\(\displaystyle ? \)
\(\displaystyle apa \) \(\displaystyle ⇔ \) \(\displaystyle 11 | (7a + 4a) \)
\(\displaystyle 11 | (11a) \)
Ed è riflessiva in quanto 11 divide 11a, essendo quest'ultimo un suo multiplo.
Per la simmetrica e transitiva non saprei proprio da dove partire, avrei bisogno di qualche chiarimento!
Grazie mille a chi mi risponderà!

[axpgn]

Affinché sia simmetrica deve essere $aPb\ ->\ bPa$ quindi dato per vero che $11|(7a+4b)$ allora dobbiamo dimostrare che è vero pure $11|(7b+4a)$.

Sicuramente è $11|(11a+11b)$ e per ipotesi è vero anche $11|(7a+4b)$ ma allora sarà divisibile per $11$ anche la loro differenza cioè $11a+11b-7a-4b=4a+7b$ e quindi $11|(7b+4a)$. CVD.

Prova con la transitività ...

[sabri182]

"axpgn":Affinché sia simmetrica deve essere $ aPb\ ->\ bPa $ quindi dato per vero che $ 11|(7a+4b) $ allora dobbiamo dimostrare che è vero pure $ 11|(7b+4a) $.

Sicuramente è $ 11|(11a+11b) $ e per ipotesi è vero anche $ 11|(7a+4b) $ ma allora sarà divisibile per $ 11 $ anche la loro differenza cioè $ 11a+11b-7a-4b=4a+7b $ e quindi $ 11|(7b+4a) $. CVD.

Prova con la transitività ...

Ok perfetto, grazie mille per la tua risposta.
Per la transitività a questo punto ragionerei in questo modo:
\(\displaystyle apb ⇔ bpc ⇔ apc ? \)
\(\displaystyle apb \)\(\displaystyle ⇔ \) \(\displaystyle 11|(7a + 4b) \)
\(\displaystyle bpc \) \(\displaystyle ⇔ \) \(\displaystyle 11|(7b + 4c) \)
\(\displaystyle apc \) \(\displaystyle ⇔ \) \(\displaystyle 11| 7a + 4b + 7b + 4c \)
\(\displaystyle 11| 7a + 11b + 4c \)
poichè \(\displaystyle 11|11b \) e \(\displaystyle 11|11b + (7a + 4c) \) allora \(\displaystyle 7| (7a + 4c) \)

Spero abbia senso ciò che ho scritto

[axpgn]

Sì, ha senso ... a parte l'ultima espressione da correggere ( ) e tutti quei simboli di biimplicazione che non c'entrano niente ...

Io, la proprietà transitiva la scriverei così ... $(aPb ^^ bPc)\ ->\ aPc$

Cordialmente, Alex

P.S.: quando rispondi, non citare il messaggio precedente: è inutile ed anche fastidioso