Relazioni d'equivalenza e partizioni

[ladepie]

io avevo capito che una relazione d'equivalenza su un insieme A forma delle classi d'equivalenza, ovvero insiemi disgiunti due a due e l'unione ricopre l'insieme e non vuote. Ma sono le classi ad essere partizioni o sono l'insieme delle classi ad essere partizioni? e se è la seconda perchè è così...cosa c'è nelle altre partizioni?

[Studente Anonimo]

Quali altre partizioni?

[ladepie]

una partizione è una parte di un'insieme

[Studente Anonimo]

"ladepie":una partizione è una parte di un'insieme

In che senso? Una partizione di un insieme X è una famiglia [tex]\{U_i\}_i[/tex] di sottoinsiemi non vuoti di X la cui unione è X e tali che [tex]U_i \cap U_j = \emptyset[/tex] per ogni [tex]i \neq j[/tex].

Quando hai una relazione di equivalenza su X, l'insieme delle classi di questa relazione è una partizione di X.

[ladepie]

Ma allora se ho una relazione d'equivalenza R sull'insieme A la partizione è solo un insieme di classi che insieme ricoprono A, quindi la partizione nella sua totalità è l'insieme A stesso.

[Studente Anonimo]

"ladepie":Ma allora se ho una relazione d'equivalenza R sull'insieme A la partizione è solo un insieme di classi che insieme ricoprono A, quindi la partizione nella sua totalità è l'insieme A stesso.

No, la partizione di A relativa alla relazione di equivalenza R è l'insieme delle classi di equivalenza di R.

[ladepie]

e l'insieme delle classi di equivalenze mi da A

e si può dire che una relazione di equivalenza mi determina un partizionamento attraverso le classi?

[Studente Anonimo]

"ladepie":e l'insieme delle classi di equivalenze mi da A

No, l'unione delle classi di equivalenza dà A.

e si può dire che una relazione di equivalenza mi determina un partizionamento attraverso le classi?

Sì.

[j18eos]

L'unione delle classi di equivalenza ti dà A.

La risposta alla tua domanda è sì, ed inoltre: dato una partizione gli elementi di essa sono le classi di equivalenza di un'unica relazione di equivalenza su A (supposto non vuoto).