Relazioni binarie in un insieme
Buongiorno,
Sia $R$ una corrispondenza binaria in $S$, si hanno le seguenti proprietà
1) riflessiva se $xRx$ per ogni $x in S$
2) antiriflessiva se $xnotRx$ per ogni $x in S$
3) simmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica $yRx$
4) antisimmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica $y not Rx$
5) asimmetrica se l'essere $xRy$ e $yRx$ comporta $x=y$
6) transitiva per ogni $x,y,z in S$ si ha $xRy$ e$yRz$ allora $xRz$
il simbolo $not$ indica la locuzione avverbiale non
Vorrei vedere se raggupando alcune proprietà dalla 1) ... 6) ne implicano altrettante.
Considero l'insieme $S={1,2,3,4}$ e suppongo che $R$ sia riflessiva e simmetrica, quindi il grafico di $R$ è
Per risultare asimmetrica deve succedere che le coppie $(x,y)$ e $(y,x)$ devono contemporaneamente appartengano al grafico $G$, quindi se prendo gli elementi $x=1$ e $y=2$, succede che le coppie $(1,2)$ e $(2,1)$ appartengano a $G$, evidentemente $1 ne 2 $
Quindi una relazione $R$ che sia riflessiva e simmetrica non implica l'asimmetria ?
Sia $R$ una corrispondenza binaria in $S$, si hanno le seguenti proprietà
1) riflessiva se $xRx$ per ogni $x in S$
2) antiriflessiva se $xnotRx$ per ogni $x in S$
3) simmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica $yRx$
4) antisimmetrica se per ogni coppia $(x,y)$ in $S$ tale che $xRy$ implica $y not Rx$
5) asimmetrica se l'essere $xRy$ e $yRx$ comporta $x=y$
6) transitiva per ogni $x,y,z in S$ si ha $xRy$ e$yRz$ allora $xRz$
il simbolo $not$ indica la locuzione avverbiale non
Vorrei vedere se raggupando alcune proprietà dalla 1) ... 6) ne implicano altrettante.
Considero l'insieme $S={1,2,3,4}$ e suppongo che $R$ sia riflessiva e simmetrica, quindi il grafico di $R$ è
$G={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}$
in tale circostanza $R$ può risultare asimmentrica ?Per risultare asimmetrica deve succedere che le coppie $(x,y)$ e $(y,x)$ devono contemporaneamente appartengano al grafico $G$, quindi se prendo gli elementi $x=1$ e $y=2$, succede che le coppie $(1,2)$ e $(2,1)$ appartengano a $G$, evidentemente $1 ne 2 $
Quindi una relazione $R$ che sia riflessiva e simmetrica non implica l'asimmetria ?
Risposte
Hai le idee un po' confuse. Una relazione che è allo stesso tempo simmetrica e asimmetrica è la diagonale, perché
\[
((x,y)\in R \iff (y,x) \in R) \Rightarrow x=y
\] In generale, nessuna di quelle proprietà implica direttamente le altre (in paticolare, 1,4,6 sono indipendenti).
\[
((x,y)\in R \iff (y,x) \in R) \Rightarrow x=y
\] In generale, nessuna di quelle proprietà implica direttamente le altre (in paticolare, 1,4,6 sono indipendenti).
Ciao, grazie per la risposta.
Non voglio dire che uno delle sei citate prima, implicano direttamente le altre, mi sto chiedendo se raggruppando alcune di queste proprietà, è possibile che ne implicano altre ha senso ?
Ciao.
Non voglio dire che uno delle sei citate prima, implicano direttamente le altre, mi sto chiedendo se raggruppando alcune di queste proprietà, è possibile che ne implicano altre ha senso ?
Ciao.
"solaàl":
Una relazione che è allo stesso tempo simmetrica e asimmetrica è la diagonale
Questo è vero solo se si assume anche la riflessività.
Senza questa ipotesi può essere un qualsiasi sottoinsieme della diagonale.
Sì, scusa, è quello che volevo dire
Buonasera,
mi sto sporcando un pò le mano con le definizioni, quindi capitemi.
Allora se considero un insieme $S={1,2,3}$ posso definire una relazione di equivalenza in $S$ tramite il suo grafico, cioè
Ora ho un inghippo, cioè
Se $R$ è una relazione di equivalenza in $S$ e considero $x,y,in S$ allora
In particolare se prendo $x=1 \ ,\ y=3$ ho $[1]_R={1,2,3}$ e $[3]_R={1,3}$ allora $[1]_Rne [3]_R $ ma $(1,3) in R.$
Quindi ho sbagliato a determinare la relazione $R$ ossia il $G$, oppure qualcosa non mi è chiaro.
Come si spiega questo evento ?
Buona domenica.
mi sto sporcando un pò le mano con le definizioni, quindi capitemi.
Allora se considero un insieme $S={1,2,3}$ posso definire una relazione di equivalenza in $S$ tramite il suo grafico, cioè
$G_R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}$
$R$ rispetta le tre proprietà le quali riflessività, simmetrica, transitiva.Ora ho un inghippo, cioè
Se $R$ è una relazione di equivalenza in $S$ e considero $x,y,in S$ allora
$xRy leftrightarrow [x]_R=[y]_R$
In particolare se prendo $x=1 \ ,\ y=3$ ho $[1]_R={1,2,3}$ e $[3]_R={1,3}$ allora $[1]_Rne [3]_R $ ma $(1,3) in R.$
Quindi ho sbagliato a determinare la relazione $R$ ossia il $G$, oppure qualcosa non mi è chiaro.
Come si spiega questo evento ?
Buona domenica.
$R$ non è transitiva.
Grazie mille otta96, quindi per renderla transtiva devo aggiungere necessariamente le coppie $(2,3) $ e $(3,2)$ ?
Inoltre per considerare una relazione di equivalenza in un insieme $S$ quest'ultimo deve avere almeno $3$ elementi ?
Inoltre per considerare una relazione di equivalenza in un insieme $S$ quest'ultimo deve avere almeno $3$ elementi ?
Se vuoi aggiungere fino a che non è transitiva, si.
Una relazione di equivalenza può essere posta su qualsiasi insieme, non c'è scritto nelle condizioni che quegli elementi devono essere diversi.
Una relazione di equivalenza può essere posta su qualsiasi insieme, non c'è scritto nelle condizioni che quegli elementi devono essere diversi.
Buongiorno otta96,
Ecco, una relazione $R$ è transitiva in $S$, con $xRz$ se allo stesso tempo $xRy$ e $yRz$, con $x,y,z$ in $S$, quindi è lecito suppore che $x=z$ ?
"otta96":
Una relazione di equivalenza può essere posta su qualsiasi insieme, non c'è scritto nelle condizioni che quegli elementi devono essere diversi.
Ecco, una relazione $R$ è transitiva in $S$, con $xRz$ se allo stesso tempo $xRy$ e $yRz$, con $x,y,z$ in $S$, quindi è lecito suppore che $x=z$ ?
Si, anche $x=y$ o $y=z$.
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