Relazioni binarie
Eccomi ancora con un esercizio sulle relazioni, vi chiedo di confrontare il mio ragionamento, che in qualche modo mi sembra "limitato". Grazie 
Data la relazione definita sull'insieme dei numeri relativi [tex]\mathbb{Z}[/tex] , [tex]aRb[/tex] se e solo se [tex]a^4=b^4[/tex]
1. dimostrare che R è una relazione di equivalenza
2. dimostrare che R non è antisimmetrica
3. da quanti elementi è costituita ogni classe di equivalenza?
Risposte
La relazione esite se [tex]a[/tex] è un intero relativo e [tex]b[/tex] il suo opposto, nel senso che se uno è positivo, l'altro è negativo, ma con lo stesso valore assoluto (so che dovrei dirlo meglio).
1. [tex]R[/tex] è riflessiva in quanto [tex]a^4=a^4[/tex] e quindi [tex]aRa[/tex], è simmetrica perché se [tex]a^4=b^4[/tex] è anche [tex]b^4=a^4[/tex], perciò [tex]aRb[/tex] e [tex]bRa[/tex], è transitiva perché se [tex]a^4=b^4[/tex] e [tex]b^4=c^4[/tex] si ha anche che [tex]a^4=c^4[/tex], perciò [tex]aRb[/tex], [tex]bRc[/tex] e [tex]aRc[/tex]. Quindi si tratta di una relazione di equivalenza.
2. Non è antisimmetrica, perché se fosse [tex]a=2[/tex] e [tex]b=-2[/tex], avremmo che [tex]a^4=b^4[/tex], quindi [tex]aRb[/tex], ma [tex]a[/tex] non è uguale a [tex]b[/tex]
3. Una classe è costituita da tutti i numeri pari e un'altra da tutti i numeri dispari.
Data la relazione definita sull'insieme dei numeri relativi [tex]\mathbb{Z}[/tex] , [tex]aRb[/tex] se e solo se [tex]a^4=b^4[/tex]
1. dimostrare che R è una relazione di equivalenza
2. dimostrare che R non è antisimmetrica
3. da quanti elementi è costituita ogni classe di equivalenza?
Risposte
La relazione esite se [tex]a[/tex] è un intero relativo e [tex]b[/tex] il suo opposto, nel senso che se uno è positivo, l'altro è negativo, ma con lo stesso valore assoluto (so che dovrei dirlo meglio).
1. [tex]R[/tex] è riflessiva in quanto [tex]a^4=a^4[/tex] e quindi [tex]aRa[/tex], è simmetrica perché se [tex]a^4=b^4[/tex] è anche [tex]b^4=a^4[/tex], perciò [tex]aRb[/tex] e [tex]bRa[/tex], è transitiva perché se [tex]a^4=b^4[/tex] e [tex]b^4=c^4[/tex] si ha anche che [tex]a^4=c^4[/tex], perciò [tex]aRb[/tex], [tex]bRc[/tex] e [tex]aRc[/tex]. Quindi si tratta di una relazione di equivalenza.
2. Non è antisimmetrica, perché se fosse [tex]a=2[/tex] e [tex]b=-2[/tex], avremmo che [tex]a^4=b^4[/tex], quindi [tex]aRb[/tex], ma [tex]a[/tex] non è uguale a [tex]b[/tex]
3. Una classe è costituita da tutti i numeri pari e un'altra da tutti i numeri dispari.
Risposte
Dato che una classe di equivalenza è definita come:
sia $R$ una relazione in un insieme $X$ e sia $a$ un elemento di $X$, cioè $a in X$; si dice classe di equivalenza il sottoinsieme di $X$ formato
dagli elementi che sono in relazione con $a$:
$[a]:={b in X | aRx]$
nel tuo caso quindi hai che $[a] = {b in ZZ | a^4 = b^4}$
e dato che ad ogni relazione di equivalenza è associata una partizione tale le classi di equivalenza sia a due a due disgiunte e non vuote ($[a] nn = O/ $) e l'unione
delle classi è $ZZ$, allora hai che ogni classe di equivalenza è definita come $[x]={x,-x}$ per cui al punto 3 la risposta è "2 elementi", e il tuo bell'insieme
quoziente è definito come
$X={[0],[1],[2],[3],...[n]}$ per $n in NN$
PS. tutto il preambolo è a mio uso e consumo (sto ripassando
)
sia $R$ una relazione in un insieme $X$ e sia $a$ un elemento di $X$, cioè $a in X$; si dice classe di equivalenza il sottoinsieme di $X$ formato
dagli elementi che sono in relazione con $a$:
$[a]:={b in X | aRx]$
nel tuo caso quindi hai che $[a] = {b in ZZ | a^4 = b^4}$
e dato che ad ogni relazione di equivalenza è associata una partizione tale le classi di equivalenza sia a due a due disgiunte e non vuote ($[a] nn = O/ $) e l'unione
delle classi è $ZZ$, allora hai che ogni classe di equivalenza è definita come $[x]={x,-x}$ per cui al punto 3 la risposta è "2 elementi", e il tuo bell'insieme
quoziente è definito come
$X={[0],[1],[2],[3],...[n]}$ per $n in NN$
PS. tutto il preambolo è a mio uso e consumo (sto ripassando
)
Grazie Grandom, ma i punti 1 e 2 sono corretti secondo te?
E' sufficiente la spiegazione o devo dimostrarlo meglio.
Per il punto 3 avevo scritto una cavolata, volevo dire tutti i numeri negativi e tutti i numeri positi (non pari e dispari), comunque avrei sbagliato... vista poi la tua spiegazione.
E' sufficiente la spiegazione o devo dimostrarlo meglio.
Per il punto 3 avevo scritto una cavolata, volevo dire tutti i numeri negativi e tutti i numeri positi (non pari e dispari), comunque avrei sbagliato... vista poi la tua spiegazione.
Sicuramente la proprietà Riflessiva e Simmetrica sono corrette e... evidenti; per la proprietà transitiva,
premettendo che la relazione di equivalenza la potresti enunciare in questo modo:
$aRb <=> a^4=b^4 <=> (b=-a) vv (b=a)$
avresti che $a^4=b^4 <=> (b=-a) vv (b=a) ^^ b^4=c^4 <=> (c=-b) vv (c=b)$
nel caso di $b=-a$ basta fare la sottrazione membro a membro:
$b=-a$
$c=-b$
da cui $b-c=-a-(-b)$, ovvero $b-c=-a+b$ e $a=c$
nel caso di $b=a$ la sottrazione membro a membro la fai cosi:
$b=a$
$b=c$ (per la proprietà riflessiva $b=c$ è equivalente a $c=b$)
da cui $b-b=a-c$ e $0=a-c$, quindi $a=c$
Spero di non aver scritto castronerie
Dimenticavo la proprietà antisimmetrica giustamente come hai indicato non è verificata
premettendo che la relazione di equivalenza la potresti enunciare in questo modo:
$aRb <=> a^4=b^4 <=> (b=-a) vv (b=a)$
avresti che $a^4=b^4 <=> (b=-a) vv (b=a) ^^ b^4=c^4 <=> (c=-b) vv (c=b)$
nel caso di $b=-a$ basta fare la sottrazione membro a membro:
$b=-a$
$c=-b$
da cui $b-c=-a-(-b)$, ovvero $b-c=-a+b$ e $a=c$
nel caso di $b=a$ la sottrazione membro a membro la fai cosi:
$b=a$
$b=c$ (per la proprietà riflessiva $b=c$ è equivalente a $c=b$)
da cui $b-b=a-c$ e $0=a-c$, quindi $a=c$
Spero di non aver scritto castronerie
Dimenticavo la proprietà antisimmetrica giustamente come hai indicato non è verificata
... oppure, molto più semplicemente,
se $a^4=b^4$ e $b^4=c^4$ , allora $a^4=c^4$
Quindi se $a R b$ e $b R c$, allora $a R c$. Pertanto la relazione è transitiva.
se $a^4=b^4$ e $b^4=c^4$ , allora $a^4=c^4$
Quindi se $a R b$ e $b R c$, allora $a R c$. Pertanto la relazione è transitiva.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo