Relazioni binarie
Buonasera a tutti. Un esercizio mi chiede: data la relazione $ R={(b,b),(c,c)} $ definita sull'insieme $ A= {a,b,c} $
dire quale delle seguenti affermazioni è vera: 1)R è riflessiva. 2)R è simmetrica e antisimmetrica. 3)R non è transitiva. 4) nessuna delle precedenti. La risposta corretta è la 2, è simmetrica e antisimmetrica.
Io ho ragionato cosi: l'elemento b è in relazione con se stesso, anche l'elemento c, ma non è presente l'elemento a, quindi non è riflessiva. Gli elementi b e c appartengono a loro stessi, ma non c'è una relazione del tipo (a,b) (b,a) quindi non è simmetrica, e se non è simmetrica non può essere nemmeno antisimmetrica. Ma la risposta giusta è proprio questa, per cui mi chiedo: se gli elementi sono in relazione soltanto con se stessi e non c'è una relazione (a,b) (b,a), come fa ad essere simmetrica? in che modo possono essere risolte queste relazioni per evitare questo tipo di problemi? grazie mille anticipatamente a tutti.
dire quale delle seguenti affermazioni è vera: 1)R è riflessiva. 2)R è simmetrica e antisimmetrica. 3)R non è transitiva. 4) nessuna delle precedenti. La risposta corretta è la 2, è simmetrica e antisimmetrica.
Io ho ragionato cosi: l'elemento b è in relazione con se stesso, anche l'elemento c, ma non è presente l'elemento a, quindi non è riflessiva. Gli elementi b e c appartengono a loro stessi, ma non c'è una relazione del tipo (a,b) (b,a) quindi non è simmetrica, e se non è simmetrica non può essere nemmeno antisimmetrica. Ma la risposta giusta è proprio questa, per cui mi chiedo: se gli elementi sono in relazione soltanto con se stessi e non c'è una relazione (a,b) (b,a), come fa ad essere simmetrica? in che modo possono essere risolte queste relazioni per evitare questo tipo di problemi? grazie mille anticipatamente a tutti.
Risposte
Dato un insieme \( S \), una relazione \( \mathfrak{R} \) è simmetrica se e solo se \( \forall x \in S, x \mathfrak{R} y \implies y \mathfrak{R} x \).
Tu hai nel grafico di \( \mathfrak{R} \) le coppie \( (b,b) \) e \( (c,c) \): prendi la coppia \( (b,b) \); al posto di \( x \) ci deve andare \( b \) ed al posto di \( y \) ci deve andare \( b \): allora è vero che \( b \mathfrak{R} b \implies b \mathfrak{R} b \)?
Tu hai nel grafico di \( \mathfrak{R} \) le coppie \( (b,b) \) e \( (c,c) \): prendi la coppia \( (b,b) \); al posto di \( x \) ci deve andare \( b \) ed al posto di \( y \) ci deve andare \( b \): allora è vero che \( b \mathfrak{R} b \implies b \mathfrak{R} b \)?
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