Relazioni
Sto ripassando questo argomento....il confronto aiuta!!!!
Nella relazione $x + y= 5$ definita nell'insieme N dei numeri naturali determinare il dominio e il codominio..
A me risulta: D=C=${0; 1; 2; 3; 4; 5}$
La relazione di perpendicolarità secondo me gode delle seguenti proprietà: antiriflessiva, simmetrica e non gode della proprietà transitiva.
La relazione, espressa in un insieme numerico dal simbolo $!=$ secondo me non è una relazione di equivalenza perchè risulta: antiriflessiva, simmetrica e non transitiva per questo motivo: $3RR2$ e $2RR3$ ma 3 non è in relazione con 3.
Sia $\alpha$ l'insieme dei punti di un piano e $0$ un punto prefissato di $\alpha$. La relazione definita in $\alpha$ è questa: $P$ $RR$ $Q$ $iff$ $0$ è il punto
medio di $PQ$ con $PQ$ $in$ $\alpha$. Di che propietà gode questa relazione? Per me è: antiriflessiva, simmetrica e non è transitiva.
Mi fermo per il momento qui...grazie.
Nella relazione $x + y= 5$ definita nell'insieme N dei numeri naturali determinare il dominio e il codominio..
A me risulta: D=C=${0; 1; 2; 3; 4; 5}$
La relazione di perpendicolarità secondo me gode delle seguenti proprietà: antiriflessiva, simmetrica e non gode della proprietà transitiva.
La relazione, espressa in un insieme numerico dal simbolo $!=$ secondo me non è una relazione di equivalenza perchè risulta: antiriflessiva, simmetrica e non transitiva per questo motivo: $3RR2$ e $2RR3$ ma 3 non è in relazione con 3.
Sia $\alpha$ l'insieme dei punti di un piano e $0$ un punto prefissato di $\alpha$. La relazione definita in $\alpha$ è questa: $P$ $RR$ $Q$ $iff$ $0$ è il punto
medio di $PQ$ con $PQ$ $in$ $\alpha$. Di che propietà gode questa relazione? Per me è: antiriflessiva, simmetrica e non è transitiva.
Mi fermo per il momento qui...grazie.
Risposte
ok per le prime 3.
per l'ultima non sono d'accordo, perché $0 RR 0$, quindi non è antiriflessiva. ovviamente è simmetrica e non è transitiva.
ciao.
per l'ultima non sono d'accordo, perché $0 RR 0$, quindi non è antiriflessiva. ovviamente è simmetrica e non è transitiva.
ciao.
Esatto....il punto $0RR0$ quindi non è antiriflessiva.
Grazie
Grazie
prego.
Si determinino dominio e codominio della relazione x R y x è divisore di y definita nell'insieme A={2; 3; 5; 6; 8; 11}. Per me A= D=C poiché ogni numero è divisibile per se stesso.
Perché quando si parla di dominio si pensa agli elementi di A a cui è associato qualche elemento di B e quando si parla di codominio, invece, si pensa agli elementi di B a cui è associato qualche elemento di A? In sintesi perché quando si parla di dominio e codominio si pensano due insiemi diversi? Nelle relazioni in un insieme A=B per cui il dominio e il codominio sarà formato solo da elementi di A.
Data la relazione: R={(a;a); (a; b); (b;a); (b;b); (c;b); (c;c)} dire se è riflessiva e se è simmetrica.
Per me è riflessiva, ma non risulta transitiva perché l'elemento b non è in relazione con l'elemento c.
Nell'insieme delle circonferenze del piano, la relazione R: $c R d$ $hArr$ $c$ è concentrica a $d$ a me risulta una relazione di equivalenza.
Quali sono le classi di equivalenza e l'insieme quoziente in questo caso? Per me una classe di equivalenza è rappresentata da un dato cerchio...ma ho dubbi!!
La relazione di congruenza modulo 3, così definita in Z x$-=$ y (mod 3) $hArr$ x – y = 3k(k appartenente a Z) mi risulta una relazione di equivalenza.
In questo caso quali sono le classi di equivalenza? Per me le classi di equivalenza sono date dal prodotto 3k. Se moltiplico, per esempio 3 * (-5) ottengo come risultato -15; -15 è la classe di equivalenza di infinite sottrazioni x – y che danno come risultato -15.
La relazione R definita in $N^2$ "escluso lo zero" da (a;b)R(c;d) $hArr$ a + d = b+c mi risulta una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza?
Grazie
Perché quando si parla di dominio si pensa agli elementi di A a cui è associato qualche elemento di B e quando si parla di codominio, invece, si pensa agli elementi di B a cui è associato qualche elemento di A? In sintesi perché quando si parla di dominio e codominio si pensano due insiemi diversi? Nelle relazioni in un insieme A=B per cui il dominio e il codominio sarà formato solo da elementi di A.
Data la relazione: R={(a;a); (a; b); (b;a); (b;b); (c;b); (c;c)} dire se è riflessiva e se è simmetrica.
Per me è riflessiva, ma non risulta transitiva perché l'elemento b non è in relazione con l'elemento c.
Nell'insieme delle circonferenze del piano, la relazione R: $c R d$ $hArr$ $c$ è concentrica a $d$ a me risulta una relazione di equivalenza.
Quali sono le classi di equivalenza e l'insieme quoziente in questo caso? Per me una classe di equivalenza è rappresentata da un dato cerchio...ma ho dubbi!!
La relazione di congruenza modulo 3, così definita in Z x$-=$ y (mod 3) $hArr$ x – y = 3k(k appartenente a Z) mi risulta una relazione di equivalenza.
In questo caso quali sono le classi di equivalenza? Per me le classi di equivalenza sono date dal prodotto 3k. Se moltiplico, per esempio 3 * (-5) ottengo come risultato -15; -15 è la classe di equivalenza di infinite sottrazioni x – y che danno come risultato -15.
La relazione R definita in $N^2$ "escluso lo zero" da (a;b)R(c;d) $hArr$ a + d = b+c mi risulta una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza?
Grazie
"marcus112":
Si determinino dominio e codominio della relazione x R y x è divisore di y definita nell'insieme A={2; 3; 5; 6; 8; 11}. Per me A= D=C poiché ogni numero è divisibile per se stesso. OK
Perché quando si parla di dominio si pensa agli elementi di A a cui è associato qualche elemento di B e quando si parla di codominio, invece, si pensa agli elementi di B a cui è associato qualche elemento di A? In sintesi perché quando si parla di dominio e codominio si pensano due insiemi diversi? Nelle relazioni in un insieme A=B per cui il dominio e il codominio sarà formato solo da elementi di A.
nelle relazioni binarie il primo ed il secondo insieme possono essere distinti, ma non necessariamente: nelle relazioni di un insieme in se stesso i due insiemi coincidono. non cambia però la definizione di dominio e codominio. piuttosto ci sono discussioni in corso tra algebristi ed analisti per considerare il primo insieme o l'insieme di definizione il dominio e il secondo insieme o l'immagine il codominio...
Data la relazione: R={(a;a); (a; b); (b;a); (b;b); (c;b); (c;c)} dire se è riflessiva e se è simmetrica.
Per me è riflessiva, ma non risulta transitiva perché l'elemento b non è in relazione con l'elemento c.
forse intendevi non risulta simmetrica...
Nell'insieme delle circonferenze del piano, la relazione R: $c R d$ $hArr$ $c$ è concentrica a $d$ a me risulta una relazione di equivalenza.
Quali sono le classi di equivalenza e l'insieme quoziente in questo caso? Per me una classe di equivalenza è rappresentata da un dato cerchio...ma ho dubbi!!
una classe di equivalenza è un insieme di circonferenze aventi lo stesso centro. una circonferenza, individuando il proprio centro, è un rappresentante della classe di equivalenza modulo $R$ ("essere concentriche").
La relazione di congruenza modulo 3, così definita in Z x$-=$ y (mod 3) $hArr$ x – y = 3k(k appartenente a Z) mi risulta una relazione di equivalenza.
In questo caso quali sono le classi di equivalenza? Per me le classi di equivalenza sono date dal prodotto 3k. Se moltiplico, per esempio 3 * (-5) ottengo come risultato -15; -15 è la classe di equivalenza di infinite sottrazioni x – y che danno come risultato -15.
no, qui non ci siamo. due numeri sono equivalenti se hanno lo stesso resto nella divisione per 3, cioè se sono entrambi congruenti a 0, o entrambi congruenti a 1, o entrambi congruenti a 2, (modulo 3).
La relazione R definita in $N^2$ "escluso lo zero" da (a;b)R(c;d) $hArr$ a + d = b+c mi risulta una relazione di equivalenza. Quali sono le classi di equivalenza? prova a scrivere alcune coppie in relazione tra loro e vedi se c'è un modo più semplice che non sia la definizione stessa.
Grazie
spero sia chiaro. prova a completare l'esercizio e facci sapere. ciao.
Verifichiamo se ho capito....
La relazione di congruenza modulo 3, così definita in Z x y (mod 3) x – y = 3k(k appartenente a Z) mi risulta una relazione di equivalenza.
In questo caso quali sono le classi di equivalenza? Per me le classi di equivalenza sono date dal prodotto 3k. Se moltiplico, per esempio 3 * (-5) ottengo come risultato -15; -15 è la classe di equivalenza di infinite sottrazioni x – y che danno come risultato -15.
no, qui non ci siamo. due numeri sono equivalenti se hanno lo stesso resto nella divisione per 3, cioè se sono entrambi congruenti a 0, o entrambi congruenti a 1, o entrambi congruenti a 2, (modulo 3).
L'aritmetica modulare si basa sul concetto di congruenza modulo n . Dati tre numeri interi a, b, n, con n ≠ 0, diciamo che a e b sono congruenti modulo n se la loro differenza (a − b) è un multiplo di n. In questo caso scriviamo a $-=$b (mod 3)
e diciamo che a è congruo a b modulo 3. Per esempio, possiamo scrivere 50 $-=$5 (mod 3) poiché 50 − 5 = 45, che è un multiplo di 15(3*5).
Nel caso entrambi i numeri siano positivi, si può anche dire che a e b sono congruenti modulo n se hanno lo stesso resto nella divisione per n. Quindi possiamo anche dire che 50 è congruo a 5 modulo 3 poiché sia 50 sia 5 hanno resto 2 nella divisione per 3. In questo caso 50 e 5 sono congruenti a 2.
Altro esempio:
40 $-=$16 (mod 3) poiché 40 − 16 = 24, che è un multiplo di 12(3*4).
Quindi possiamo anche dire che 40 è congruo 16 modulo 3 poiché sia 40 sia 16 hanno resto 1 nella divisione per 3. In questo caso 40 e 16 sono congruenti a 1.
Ultimo caso: i due numeri sono equivalenti se nella divisione per 3 sono congruenti a zero:
12 $-=$6 (mod3) poiché 12 − 6 = 6, che è un multiplo di 3(3*1).
Quindi possiamo anche dire che 12 è congruo a 6 modulo 3 poiché sia 12 sia 6 hanno resto 0 nella divisione per 3. In questo caso 12 e 6 sono congruenti a 0.
Concludiamo dicendo che gli esempi si riferiscono ad una relazione di congruenza modulo 3.
Spero di aver capito.
Grazie
La relazione di congruenza modulo 3, così definita in Z x y (mod 3) x – y = 3k(k appartenente a Z) mi risulta una relazione di equivalenza.
In questo caso quali sono le classi di equivalenza? Per me le classi di equivalenza sono date dal prodotto 3k. Se moltiplico, per esempio 3 * (-5) ottengo come risultato -15; -15 è la classe di equivalenza di infinite sottrazioni x – y che danno come risultato -15.
no, qui non ci siamo. due numeri sono equivalenti se hanno lo stesso resto nella divisione per 3, cioè se sono entrambi congruenti a 0, o entrambi congruenti a 1, o entrambi congruenti a 2, (modulo 3).
L'aritmetica modulare si basa sul concetto di congruenza modulo n . Dati tre numeri interi a, b, n, con n ≠ 0, diciamo che a e b sono congruenti modulo n se la loro differenza (a − b) è un multiplo di n. In questo caso scriviamo a $-=$b (mod 3)
e diciamo che a è congruo a b modulo 3. Per esempio, possiamo scrivere 50 $-=$5 (mod 3) poiché 50 − 5 = 45, che è un multiplo di 15(3*5).
Nel caso entrambi i numeri siano positivi, si può anche dire che a e b sono congruenti modulo n se hanno lo stesso resto nella divisione per n. Quindi possiamo anche dire che 50 è congruo a 5 modulo 3 poiché sia 50 sia 5 hanno resto 2 nella divisione per 3. In questo caso 50 e 5 sono congruenti a 2.
Altro esempio:
40 $-=$16 (mod 3) poiché 40 − 16 = 24, che è un multiplo di 12(3*4).
Quindi possiamo anche dire che 40 è congruo 16 modulo 3 poiché sia 40 sia 16 hanno resto 1 nella divisione per 3. In questo caso 40 e 16 sono congruenti a 1.
Ultimo caso: i due numeri sono equivalenti se nella divisione per 3 sono congruenti a zero:
12 $-=$6 (mod3) poiché 12 − 6 = 6, che è un multiplo di 3(3*1).
Quindi possiamo anche dire che 12 è congruo a 6 modulo 3 poiché sia 12 sia 6 hanno resto 0 nella divisione per 3. In questo caso 12 e 6 sono congruenti a 0.
Concludiamo dicendo che gli esempi si riferiscono ad una relazione di congruenza modulo 3.
Spero di aver capito.
Grazie
sì, però nelle congruenze modulo un intero esistono dei rappresentanti privilegiati diciamo detti canonici e in genere si usano quelli...
così $40 -= 16 mod 3$ ma $16 -= 1 mod 3$ e pertanto è più utile scrivere $40 -= 1 mod 3$ anche perchè in $ZZ_3$ che è il nostro anello di riferimento ci sono 3 elementi ${0,1,2}$ ovvero tutti i probabili resti della divisione per $3$
se però il mod n lo definisci per $n = 1$ la relazione è sempre vera, ha quindi come unica classe di equivalenza quella di $0$
così $40 -= 16 mod 3$ ma $16 -= 1 mod 3$ e pertanto è più utile scrivere $40 -= 1 mod 3$ anche perchè in $ZZ_3$ che è il nostro anello di riferimento ci sono 3 elementi ${0,1,2}$ ovvero tutti i probabili resti della divisione per $3$
se però il mod n lo definisci per $n = 1$ la relazione è sempre vera, ha quindi come unica classe di equivalenza quella di $0$
ero convinta di aver risposto ...
ora, anche con l'intervento di mistake89, spero sia più chiaro.
quello che hai scritto sulle congruenze è giusto, ma è chiaro quali sono le classi di equivalenza?
ora, anche con l'intervento di mistake89, spero sia più chiaro.
quello che hai scritto sulle congruenze è giusto, ma è chiaro quali sono le classi di equivalenza?
Giusto per avere le idee chiare:
nella relazione di congruenza modulo 3, così definita in Z x$-=$ y (mod 3) $hArr$ x – y = 3k(k appartenente a Z),
3k rappresenta un qualsiasi multiplo di n in questo caso (mod 3) quindi di 3 e ogni multiplo è dato n * k.
Nella relazione di congruenza modulo 3 le classi di equivalenza sono rappresentate da:
[0], [1], [2]; possiamo vedere le classi di congruenza come l'insieme dei numeri interi, che divisi per 3 danno come resto: 0, 1, 2.
In generale possiamo dire che, data una relazione di congruenza modulo 3, l'insieme quoziente delle classi di congruenza, è così definito:
Z3 = { [0]3 , [1]3 , [2]3 , ... , [n-1]3}
Quindi l'insieme formato da {[0] , [1] , [2] } e che chiameremo Z3 è una partizione di Z secondo la relazione di congruenza modulo 3.
Deve essere così.
Ritorniamo a determinare le classi di equivalenza della relazione definita in $N0^2$ da $(a;b)R(c;d)$ $hArr$ a + d = b+c.
Essa introduce intuitivamente l’operazione di sottrazione (-) come operazione inversa della somma.
Per esempio :
(5,3) = 5 – 3 ≈ (8,6) = 8 – 6 ≈ (10,8) = 10 – 8 ≈ …
(1,1) = 1 – 1 ≈ (4,4) = 4 – 4 ≈ (12,12) = 12 – 12 ≈ …
(2,5) = 2 – 5 ≈ (3,6) = 3 – 6 ≈ (8,11) = 8 – 11 ≈ …
Fissato per esempio (5,2), (a,b) ~ (5,2) se: a + 2 = b + 5, cioè a - b = 3.
La classe di equivalenza di $(5,2)$ è:
(3,0), (4,1), (6,3), (7,4), (8, 5), ...,
La relazione di equivalenza ≈ induce in $N0^2$ una partizione in classi di equivalenza ciascuna delle quali
definisce un numero intero. Il loro insieme è detto l’insieme dei numeri interi I ed è uguale all’insieme
quoziente N2 / ≈.
Altro quesito:
Se i risultati della relazione di congruenza modulo 3, così definita in Z x$-=$ y (mod 3) $hArr$ x – y = 3k(k appartenente a Z), venissero estesi alla relazione di congruenza modulo m (con m intero positivo prefissato) così definita in A: x$-=$ y (mod m) $hArr$ x – y = km (k appartenente a Z)
cosa cambia?
Io interpreto la cosa così: se m= modulo 3 non cambia nulla ; se m= modulo 5 le classi di equivalenza diventano [0] , [1] , [2] , [3], [4] perché la relazione diventa un modulo 5.
Quindi l'insieme formato da {[0] , [1] , [2] , [3],[4] } e che chiameremo Z4 è una partizione di Z secondo la relazione di congruenza modulo 5.
nella relazione di congruenza modulo 3, così definita in Z x$-=$ y (mod 3) $hArr$ x – y = 3k(k appartenente a Z),
3k rappresenta un qualsiasi multiplo di n in questo caso (mod 3) quindi di 3 e ogni multiplo è dato n * k.
Nella relazione di congruenza modulo 3 le classi di equivalenza sono rappresentate da:
[0], [1], [2]; possiamo vedere le classi di congruenza come l'insieme dei numeri interi, che divisi per 3 danno come resto: 0, 1, 2.
In generale possiamo dire che, data una relazione di congruenza modulo 3, l'insieme quoziente delle classi di congruenza, è così definito:
Z3 = { [0]3 , [1]3 , [2]3 , ... , [n-1]3}
Quindi l'insieme formato da {[0] , [1] , [2] } e che chiameremo Z3 è una partizione di Z secondo la relazione di congruenza modulo 3.
Deve essere così.
Ritorniamo a determinare le classi di equivalenza della relazione definita in $N0^2$ da $(a;b)R(c;d)$ $hArr$ a + d = b+c.
Essa introduce intuitivamente l’operazione di sottrazione (-) come operazione inversa della somma.
Per esempio :
(5,3) = 5 – 3 ≈ (8,6) = 8 – 6 ≈ (10,8) = 10 – 8 ≈ …
(1,1) = 1 – 1 ≈ (4,4) = 4 – 4 ≈ (12,12) = 12 – 12 ≈ …
(2,5) = 2 – 5 ≈ (3,6) = 3 – 6 ≈ (8,11) = 8 – 11 ≈ …
Fissato per esempio (5,2), (a,b) ~ (5,2) se: a + 2 = b + 5, cioè a - b = 3.
La classe di equivalenza di $(5,2)$ è:
(3,0), (4,1), (6,3), (7,4), (8, 5), ...,
La relazione di equivalenza ≈ induce in $N0^2$ una partizione in classi di equivalenza ciascuna delle quali
definisce un numero intero. Il loro insieme è detto l’insieme dei numeri interi I ed è uguale all’insieme
quoziente N2 / ≈.
Altro quesito:
Se i risultati della relazione di congruenza modulo 3, così definita in Z x$-=$ y (mod 3) $hArr$ x – y = 3k(k appartenente a Z), venissero estesi alla relazione di congruenza modulo m (con m intero positivo prefissato) così definita in A: x$-=$ y (mod m) $hArr$ x – y = km (k appartenente a Z)
cosa cambia?
Io interpreto la cosa così: se m= modulo 3 non cambia nulla ; se m= modulo 5 le classi di equivalenza diventano [0] , [1] , [2] , [3], [4] perché la relazione diventa un modulo 5.
Quindi l'insieme formato da {[0] , [1] , [2] , [3],[4] } e che chiameremo Z4 è una partizione di Z secondo la relazione di congruenza modulo 5.
è quasi tutto ok, a parte la frase "Io interpreto la cosa così: se m= modulo 3 non cambia nulla ; se m= modulo 5 le classi di equivalenza diventano [0] , [1] , [2] , [3], [4] perché la relazione diventa un modulo 5.", non molto chiara.
"Quindi l'insieme formato da {[0] , [1] , [2] , [3],[4] } e che chiameremo Z4 è una partizione di Z secondo la relazione di congruenza modulo 5."
l'insieme è quello delle classi di congruenza modulo 5, dubito che si chiami Z4.
"Quindi l'insieme formato da {[0] , [1] , [2] , [3],[4] } e che chiameremo Z4 è una partizione di Z secondo la relazione di congruenza modulo 5."
l'insieme è quello delle classi di congruenza modulo 5, dubito che si chiami Z4.
sono classi di resto... $[4]$ non può appartenere a $ZZ_4$, poichè per il lemma della divisione euclidea essendo $r$ il resto della divisione euclidea tra $a$ e $b$ si ha $0<=r<|b|$.
tra l'altro l'ordine di $ZZ_4$ è proprio $4$ e l'insieme da te indicato invece ha ordine $5$ ...
la relazione da te definita inoltre fa sì che ovviamente sia $4 -= 0 mod 4$ in quanto $4= 4*1$
tra l'altro l'ordine di $ZZ_4$ è proprio $4$ e l'insieme da te indicato invece ha ordine $5$ ...
la relazione da te definita inoltre fa sì che ovviamente sia $4 -= 0 mod 4$ in quanto $4= 4*1$
@ mistake89
infatti di parlava di congruenza modulo 5
infatti di parlava di congruenza modulo 5
sisi però aveva scritto $ZZ_4$, solo per quello ho specificato... eccesso di zelo forse, scusatemi
no, hai fatto bene ad intervenire.
così hai anche confermato che cosa poteva voler dire marco con Z4 e hai dato la tua versione che andava nella stessa direzione, chiarendo però alcuni altri punti.
sono intervenuta solo perché ho pensato che, avendo scritto tutti quei dettagli su $ZZ_4$, forse non avevi letto con attenzione il post precedente, e quindi poteva anche iniziare una discussione arida perché non era chiaro il motivo del "contendere"...
così hai anche confermato che cosa poteva voler dire marco con Z4 e hai dato la tua versione che andava nella stessa direzione, chiarendo però alcuni altri punti.
sono intervenuta solo perché ho pensato che, avendo scritto tutti quei dettagli su $ZZ_4$, forse non avevi letto con attenzione il post precedente, e quindi poteva anche iniziare una discussione arida perché non era chiaro il motivo del "contendere"...
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