Relazioni
ebbene si sono anche quì ora 
ho cominciato a studiare algebra e sto facendo in particolare le relazioni.
Guardando un video sono entrato in crisi esistenziale.
Parlando della transitività(scrivo $delta=$relazione):
sia $deltasubseteqA^2$ una relazione $delta$ definita su $A$
se $a delta b wedge b delta c => adeltac, foralla,b,cinA$ si definisce transitiva(ovviamente).
traduco in breve il problema $A={1,2,3,...,n}$ e $delta_A={(1,1),(2,2),(3,3),...,(n,n)}$
alla relazione si aggiunge $(1,2)$
$delta_A={(1,1),(2,2),(3,3),...,(n,n),(1,2)}$ e mi si dice che è transitiva perché $1delta1 wedge 1delta2 => 1delta2$
è palesemente vera, questo richiede però a priori che una relazione debba essere riflessiva.
Nella definizione è contemplato che $a,b,cinA$ possano essere uguali?
Poi mi si dice che $delta_A$ è una relazione transitiva.
Questo deriva dal dubbio precedente. Cioè se è vero che: se $adeltaawedgeadeltaa=>adeltaa$ è transitiva(cosa di cui dubito), allora ok.
ma se questo non dovesse esser vero, e ci fosse una sola transitività tra due elementi della relazione, non implicherebbe che la relazione fosse del tutto transitiva, perché dovrebbe accadere $foralla,b,cinA$ cioè ogni terna di elementi, comunque la prendo, deve godere della transitività.
Tipo.. $A={1,2,3}$ e definisco la relazione $geq$ su $A$. Allora $geq_A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}$ è riflessiva perché ogni elemento di $A$ gode di una riflessività, è simmetrica perché ogni elemento di $A$ ha una simmetria ed è transitiva perché ogni elemento di $A$ ha una transitività.
a sto punto prendo $S={a}$ definisco la relazione $delta_S={(a,a)}$ e se è vero che:
${(adeltaawedgeadeltaa=>adeltaa),(adeltaa=>adeltaa):}$
nell'ordine, queste due sono transitività e simmetria, allora basta $delta_S$ per trovare una relazione d'equivalenza.
colmatemi questo dubbio
ho cominciato a studiare algebra e sto facendo in particolare le relazioni.
Guardando un video sono entrato in crisi esistenziale.
Parlando della transitività(scrivo $delta=$relazione):
sia $deltasubseteqA^2$ una relazione $delta$ definita su $A$
se $a delta b wedge b delta c => adeltac, foralla,b,cinA$ si definisce transitiva(ovviamente).
traduco in breve il problema $A={1,2,3,...,n}$ e $delta_A={(1,1),(2,2),(3,3),...,(n,n)}$
alla relazione si aggiunge $(1,2)$
$delta_A={(1,1),(2,2),(3,3),...,(n,n),(1,2)}$ e mi si dice che è transitiva perché $1delta1 wedge 1delta2 => 1delta2$
è palesemente vera, questo richiede però a priori che una relazione debba essere riflessiva.
Nella definizione è contemplato che $a,b,cinA$ possano essere uguali?
Poi mi si dice che $delta_A$ è una relazione transitiva.
Questo deriva dal dubbio precedente. Cioè se è vero che: se $adeltaawedgeadeltaa=>adeltaa$ è transitiva(cosa di cui dubito), allora ok.
ma se questo non dovesse esser vero, e ci fosse una sola transitività tra due elementi della relazione, non implicherebbe che la relazione fosse del tutto transitiva, perché dovrebbe accadere $foralla,b,cinA$ cioè ogni terna di elementi, comunque la prendo, deve godere della transitività.
Tipo.. $A={1,2,3}$ e definisco la relazione $geq$ su $A$. Allora $geq_A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}$ è riflessiva perché ogni elemento di $A$ gode di una riflessività, è simmetrica perché ogni elemento di $A$ ha una simmetria ed è transitiva perché ogni elemento di $A$ ha una transitività.
a sto punto prendo $S={a}$ definisco la relazione $delta_S={(a,a)}$ e se è vero che:
${(adeltaawedgeadeltaa=>adeltaa),(adeltaa=>adeltaa):}$
nell'ordine, queste due sono transitività e simmetria, allora basta $delta_S$ per trovare una relazione d'equivalenza.
colmatemi questo dubbio
Risposte
"anto_zoolander":
... $delta_A={(1,1),(2,2),(3,3),...,(n,n),(1,2)}$ e mi si dice che è transitiva perché $1delta1 wedge 1delta2 => 1delta2$ è palesemente vera, questo richiede però a priori che una relazione debba essere riflessiva.
No, pensa a $delta_A={(1,2),(2,3),(1,3)}$: è transitiva ma non riflessiva.
eh io il dubbio l'ho proprio su questo gli $a,b,c$ di cui si parla, devono essere distinti o possono essere uguali?
$S={1}$ e $delta_S={(1,1)}$ allora sarebbe un'equivalenza in questo caso.
$S={1,2,3}$ e $delta_S={(1,1),(2,2),(3,3)}$ è solo simmetrica.
$S={1}$ e $delta_S={(1,1)}$ allora sarebbe un'equivalenza in questo caso.
$S={1,2,3}$ e $delta_S={(1,1),(2,2),(3,3)}$ è solo simmetrica.
Non è quella la questione ... quando è falsa un'implicazione? Rispondi a questa prima poi applica la definizione di transitività all'ultima relazione che hai scritto: sei sicuro che NON sia transitiva?
EDIT: ho notato adesso che la definizione di transitività che usi, mi sembra leggermente ambigua così come l'hai scritta ... ci devo riflettere ... comunque, intanto rispondi a quello che ho scritto ...
EDIT: ho notato adesso che la definizione di transitività che usi, mi sembra leggermente ambigua così come l'hai scritta ... ci devo riflettere ... comunque, intanto rispondi a quello che ho scritto ...
Su due miei libri la transitività è definita:
$foralla,b,cinA$ $adeltabwedgebdeltac => adeltac$
Io l'ambiguità la noto nella decisione degli elementi.
Comunque negando la transitività otterrei:
$existsa,b,cinA$ $adeltab, bdeltac => a($non è in rel$)c$
Tornando a $S={(1,1),(2,2),(3,3)}$
Non trovo alcun elemento che soddisfi l'ultima, però non trovo nemmeno una che mi dica il contrario. A meno che non possa io utilizzare $adeltaawedgeadeltaa=>adeltaa$
$foralla,b,cinA$ $adeltabwedgebdeltac => adeltac$
Io l'ambiguità la noto nella decisione degli elementi.
Comunque negando la transitività otterrei:
$existsa,b,cinA$ $adeltab, bdeltac => a($non è in rel$)c$
Tornando a $S={(1,1),(2,2),(3,3)}$
Non trovo alcun elemento che soddisfi l'ultima, però non trovo nemmeno una che mi dica il contrario. A meno che non possa io utilizzare $adeltaawedgeadeltaa=>adeltaa$
A parte il fatto che il tuo libro penso sia meno parco e premesso che quel "per ogni" non mi piace (non capisco perché coinvolgere elementi che non fanno parte della relazione), io ti ho fatto una domanda alla quale non hai risposto: quando è falsa un'implicazione? È falsa quando l'ipotesi è vera e la tesi è falsa e di conseguenza è vera quando ipotesi e tesi sono entrambe vere ma anche quando l'ipotesi è falsa.
Se torniamo a $ delta_A={(1,2),(2,3),(1,3)} $ puoi vedere che data la coppia $(2,3)$ non esiste nella relazione una coppia del tipo $(3,n)$ perciò l'ipotesi è falsa e quindi l'implicazione è vera ovvero la relazione è transitiva (certo, solo dopo aver verificato la condizione per le diverse possibilità).
Detto questo, perché questa $S={(1,1),(2,2),(3,3)} $ non sarebbe transitiva? Perché non lo sia dovrebbero esserci due coppie così $(a,b)$ e $(b,c)$ ma non questa $(a,c)$, ma non mi pare sia così ... IMHO.
Cordialmente, Alex
Se torniamo a $ delta_A={(1,2),(2,3),(1,3)} $ puoi vedere che data la coppia $(2,3)$ non esiste nella relazione una coppia del tipo $(3,n)$ perciò l'ipotesi è falsa e quindi l'implicazione è vera ovvero la relazione è transitiva (certo, solo dopo aver verificato la condizione per le diverse possibilità).
Detto questo, perché questa $S={(1,1),(2,2),(3,3)} $ non sarebbe transitiva? Perché non lo sia dovrebbero esserci due coppie così $(a,b)$ e $(b,c)$ ma non questa $(a,c)$, ma non mi pare sia così ... IMHO.
Cordialmente, Alex
Penso che si riferisca al fatto che per essere ad esempio $delta_A$ una relazione transitiva su un certo insieme $A$, deve valere per ogni elemento dell'insieme e non della relazione. Almeno io l'ho interpretata così. Tipo:
$A={1,2,3,4}$ e $delta_A={(1,2),(2,3),(1,3)}$ non è una relazione transitiva su $A$ sebbene la relazione $delta$ in se e per se lo sia su $TsubsetA={1,2,3}$
Anche perché il $forall$ è impegnativo.
Tornando invece all'esempio $delta_S={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}$ e $S={1,2,3,4}$
$exists1,2,3inS$ $1delta2wedge2delta3 => 1($non in rel$)3$
l'ipotesi e falsa, la tesi è vera, l'implicazione è vera. Quindi la relazione definita su $S$ non è nemmeno transitiva.
$A={1,2,3,4}$ e $delta_A={(1,2),(2,3),(1,3)}$ non è una relazione transitiva su $A$ sebbene la relazione $delta$ in se e per se lo sia su $TsubsetA={1,2,3}$
Anche perché il $forall$ è impegnativo.
Tornando invece all'esempio $delta_S={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}$ e $S={1,2,3,4}$
$exists1,2,3inS$ $1delta2wedge2delta3 => 1($non in rel$)3$
l'ipotesi e falsa, la tesi è vera, l'implicazione è vera. Quindi la relazione definita su $S$ non è nemmeno transitiva.
Per quanto riguarda il "per ogni" così mi torna ancor meno ... ma non è importante, in un certo senso è un "dettaglio", quello che ti deve interessare è capire quando una relazione è transitiva "in sé" come dici tu cioè se la proprietà è verificata dalle coppie facenti parte della relazione (se poi sono coinvolti tutti gli elementi di un insieme, è un di più ... 
).
Torniamo all'esempio che fai ... $ delta_S={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} $
$delta_S$ è una relazione che gode della proprietà transitiva perché non ha coppie che verifichino l'ipotesi senza che sia verificata la tesi.
Nell'esempio che poi riporti fai delle considerazioni giuste ma la conclusione è sbagliata ... a meno che intendessi qualcos'altro che non ho inteso ...
Cordialmente, Alex
).Torniamo all'esempio che fai ... $ delta_S={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} $
$delta_S$ è una relazione che gode della proprietà transitiva perché non ha coppie che verifichino l'ipotesi senza che sia verificata la tesi.
Nell'esempio che poi riporti fai delle considerazioni giuste ma la conclusione è sbagliata ... a meno che intendessi qualcos'altro che non ho inteso ...
Cordialmente, Alex
@anto_zoolander,
si puó usare semplicemente il fatto che una relazione \(B\) é transitiva se e solo se \((B \circ B ) \subseteq B\) (ricrordando che \(\emptyset\) e´ sottoinsieme di ogni insieme), detto ció si evitano ragionamenti troppo logici o frasi del tipo comunque se provavi a ragionare per casi di \(n=1,2,..\) la soluzione ti si formava nella mente sola sola per poi formalizzare in generale
@axpgn,
si puó usare semplicemente il fatto che una relazione \(B\) é transitiva se e solo se \((B \circ B ) \subseteq B\) (ricrordando che \(\emptyset\) e´ sottoinsieme di ogni insieme), detto ció si evitano ragionamenti troppo logici o frasi del tipo
"axpgn":qui mi darei testate a muro, vi sono altri modi di pensare e modi di dire, ad esempio il mio docente di analisi I usava dire in modi forse un po filosofeggianti "non vi é nulla/niente che possa escludere che la tesi/il fatto sia vera/o" e mi sembra ragionevolmente questo il caso ..
è una relazione che gode della proprietà transitiva perché non ha coppie che verifichino l'ipotesi senza che sia verificata la tesi.
comunque se provavi a ragionare per casi di \(n=1,2,..\) la soluzione ti si formava nella mente sola sola per poi formalizzare in generale@axpgn,
"axpgn":a me sembra corretta, non capisco l´ambiguitá eventuale che ti sembra di vedere, ti riferisci al caso in cui \(n=1\)..?
EDIT: ho notato adesso che la definizione di transitività che usi, mi sembra leggermente ambigua così come l'hai scritta ... ci devo riflettere ...
Penso che prima mi debba esser chiarito se le definizioni delle relazioni sono ambigue nella scelta degli elementi.
Cioè se nella transitività sia possibile considerare elementi uguali. Perché è quì che sto sbattendo la testa a vuoto.
Cioè se nella transitività sia possibile considerare elementi uguali. Perché è quì che sto sbattendo la testa a vuoto.
@anto_zoolander
Se capisco bene il tuo dubbio è: quando mi ritrovo con un 'per ogni' che riguarda più variabili, è possibili che due o più di queste coincidano? La risposta è sì, tant'è che quando lo si voglia escludere, occorre indicarlo esplicitamente.
Ciao
B.
Se capisco bene il tuo dubbio è: quando mi ritrovo con un 'per ogni' che riguarda più variabili, è possibili che due o più di queste coincidano? La risposta è sì, tant'è che quando lo si voglia escludere, occorre indicarlo esplicitamente.
Ciao
B.
"garnak.olegovitc":
... qui mi darei testate a muro, vi sono altri modi di pensare e modi di dire, ...
Sicuramente ma non ci vedo proprio niente di strano, parlando di un'implicazione logica, affermare che $p\ =>\ q$ è equivalente a $not p vv q$ ...
"garnak.olegovitc":
a me sembra corretta, non capisco l´ambiguitá eventuale che ti sembra di vedere, ti riferisci al caso in cui \( n=1 \)..?
Non capisco l'utilità di verificare la proprietà per elementi che non appartengano alla relazione ...
Cordialmente, Alex
Comunque la relazione \( \delta_{A} \) iniziale è transitiva anche senza l'aggiunta di \((1;2)\): si tratta infatti della relazione \(=\).
"anto_zoolander":le definizioni sono giuste, cioé tanto per ricapitolare (tu usi \(\sf ZFC\)[nota]anche se la cosa mi sembra indipendente dall´assiomatica che si usa[/nota]):
Penso che prima mi debba esser chiarito se le definizioni delle relazioni sono ambigue nella scelta degli elementi.
- \(R\) é riflessiva su \(A\) se \(\forall x:(x\in A \to (x,x) \in R)\)
- \(R\) é simmetrica su \(A\) se \(\forall x,y:(x\in A \wedge y \in A \wedge (x,y) \in R \to (y,x) \in R)\)
- \(R\) é antisimmetrica su \(A\) se \(\forall x,y:(x\in A \wedge y \in A \wedge (x,y) \in R \wedge (y,x) \in R \to x=y)\)
- \(R\) é transitiva su \(A\) se \(\forall x,y,z:(x\in A \wedge y \in A \wedge z\in A \wedge (x,y) \in R \wedge (y,z) \in R \to (x,z) \in R)\)
- e tante altre ancora...
"anto_zoolander":ma certo, ma non significa che una transitiva su un insieme é anche riflessiva su quell´insieme. Facciamo alcuni esempi usando il tuo caso:
Cioè se nella transitività sia possibile considerare elementi uguali. Perché è quì che sto sbattendo la testa a vuoto.
- per \(n=1\) (cosí mettiamo un punto ad eventuali ambiguitá), avremo l´insieme \(\delta_A:=\{(1,1),(1,2)\}\) e \(A:=\{1\}\), per ogni elemento \( x\in A\) abbiamo come si vede che \((x,x) \in \delta_A\) ergo é riflessiva su \(A\), ragionando allo stesso modo o simile avremo che é anche simmetrica, antisimmetrica, e transitiva su \(A\) (l´unico elemento di \(A\) che puoi prendere é \(1\) e le uniche coppie da considerare sono \((1,1)\))..attento a non dire che é di equivalenza (su \(A\)), e qui che entra in gioco come il tuo docente definisce una relazione (su un insieme) ed una relazione di equivalenza (su un insieme)[nota]generalmente si usano queste definizioni e proprietá[/nota] (io ti ho dato le definizioni per insiemi generici..)
a te il caso per \(n=2\) e \(n=3\). Io voglio prendere questo esempio
:\(\delta:=\{(1,1),(1,2),(2,2), (2,1),(3,4),(3,3),(3,1),(1,3)\}\) e \(C:=\{1,2\}\), essa é riflessiva, simmetrica, non antisimmetrica, transitiva su \(C\).. mi sai dire perché?
p.s. = prova a leggere Axiomatic Set Theory von Patrick Suppes, mi sembra il testo piú adatto in questo caso ai tuoi dubbi
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