Relazione tra un elemento ed un insieme infinito.
Salve a tutti, ho un quesito da porre. Sono uno studente liceale, così prego i cultori della materia di rendermi comprensibili le risposte.
Per studi personali mi sono avvicinato all'insiemistica.
A dire di Cantor un insieme infinito è un insieme equipotente a ciascun suo sottoinsieme proprio.
Ma preso ad esempio l'insieme dei reali R, e preso il suo sottoinsieme A formato dall'elemento 2, come è possibile costruire una funzione biunivoca tra l'elemento e tutto l'insieme?
Grazie in anticipo delle risposte.
Per studi personali mi sono avvicinato all'insiemistica.
A dire di Cantor un insieme infinito è un insieme equipotente a ciascun suo sottoinsieme proprio.
Ma preso ad esempio l'insieme dei reali R, e preso il suo sottoinsieme A formato dall'elemento 2, come è possibile costruire una funzione biunivoca tra l'elemento e tutto l'insieme?
Grazie in anticipo delle risposte.
Risposte
"Zumpawe":
A dire di Cantor un insieme infinito è un insieme equipotente a ciascun suo sottoinsieme proprio.
Dovrebbe essere: un insieme infinito è un insieme equipotente ad un suo sottoinsieme proprio. Non a ciascuno.
Per esempio $RR$ può essere messo in corrispondenza biunivoca con $(-1,1)$.
Non ha senso, sia l'insieme dei quadrati che quello dei cubi può essere messo in corrispondenza... E comunque, come metti in corrispondenza l'esempio che ha fatto tu?
Per esempio, considera la funzione $f: (-1,1)\to RR$ tale che per ogni $x\in(-1,1)$
$f(x)=tg(\frac{\pi}{2}x)$
La funzione $f$ è bigettiva.
Scusami, ma qui non ho capito cosa vuoi dire...
$f(x)=tg(\frac{\pi}{2}x)$
La funzione $f$ è bigettiva.
"Zumpawe":
Non ha senso, sia l'insieme dei quadrati che quello dei cubi può essere messo in corrispondenza...
Scusami, ma qui non ho capito cosa vuoi dire...
A me non pare suriettiva, scusa.
Come no? Prendi un numero reale qualsiasi $x\in RR$. Scegli $y=\frac{2}{\pi}arctg\ x$ e ottieni che $f(x)=y$. Nota che $y\in(-1,1)$.
P.S.: per $(-1,1)$ intendo l'intervallo aperto da $-1$ a $1$ (cioè estremi esclusi).
P.S.: per $(-1,1)$ intendo l'intervallo aperto da $-1$ a $1$ (cioè estremi esclusi).
In sintesi, tutti gli insiemi propri hanno questa proprietà?!
In tal senso tutti i sottoinsiemi propri possiedono ogni caratteristica dell'insieme che li contiene? (Parliamo sempre di insiemi infiniti) Se sì, perchè? (Se no, perchè?)
In tal senso tutti i sottoinsiemi propri possiedono ogni caratteristica dell'insieme che li contiene? (Parliamo sempre di insiemi infiniti) Se sì, perchè? (Se no, perchè?)
No, io non parlo di intervalli, ho già detto che per sottoinsiemi infiniti non ci sono problemi, io mi riferisco a sottoinsiemi finiti, comunque propri, dell'insieme infinito.
"Zumpawe":No. Non a ciascun suo sottoinsieme proprio, ma ad almeno uno dei suoi sottoinsiemi propri.
A dire di Cantor un insieme infinito è un insieme equipotente a ciascun suo sottoinsieme proprio.
[mod="dissonance"]Sposto in Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.[/mod]
No, per esempio, come giustamente hai notato tu all'inizio l'insieme infinito $RR$ non può essere messo in corrispondenza con il suo sottoinsieme proprio ${2}$.
Però $RR$ può essere messo in bigezione con molti suoi sottoinsiemi propri. Per esempio, con tutti gli intervalli aperti del tipo $(a,b)$.
Un insieme infinito non può essere messo in relazione con un suo sottoinsieme proprio finito $A$, perchè altrimenti $A$ non sarebbe più finito!
Ti ricordo che un insieme è finito se, per definizione, non è infinito.
Per convincerti meglio, provo ad abbozzare una dimostrazione in un caso particolare.
Supponiamo per assurdo esista una bigezione fra ${1,2}$ e $RR$.
Allora visto che $RR$ è bigettivo ad un suo sottoinsieme proprio per esempio $(-1,1)$, anche ${1,2}$ è bigettivo ad un suo sottoinsieme proprio. Non ci sono molti sottoinsiemi propri di ${1,2}$. Sia per esempio tale sottoinsieme ${1}$. Ripetendo il ragionamento, si ha che anche ${1}$ è bigettivo ad un suo sottoinsieme proprio. Da cui segue che l'insieme vuoto è bigettivo ad un sottoinsieme non vuoto. Assurdo!
Non so se quella che ti ho dato è una dimostrazione rigorosa, non sono molto esperto di questo settore, forse va un po' oltre le mie conoscenze di matematica (teoria degli insiemi, fondamenti della matematica, ...), però spero di averti convinto.
Però $RR$ può essere messo in bigezione con molti suoi sottoinsiemi propri. Per esempio, con tutti gli intervalli aperti del tipo $(a,b)$.
Un insieme infinito non può essere messo in relazione con un suo sottoinsieme proprio finito $A$, perchè altrimenti $A$ non sarebbe più finito!
Ti ricordo che un insieme è finito se, per definizione, non è infinito.
Per convincerti meglio, provo ad abbozzare una dimostrazione in un caso particolare.
Supponiamo per assurdo esista una bigezione fra ${1,2}$ e $RR$.
Allora visto che $RR$ è bigettivo ad un suo sottoinsieme proprio per esempio $(-1,1)$, anche ${1,2}$ è bigettivo ad un suo sottoinsieme proprio. Non ci sono molti sottoinsiemi propri di ${1,2}$. Sia per esempio tale sottoinsieme ${1}$. Ripetendo il ragionamento, si ha che anche ${1}$ è bigettivo ad un suo sottoinsieme proprio. Da cui segue che l'insieme vuoto è bigettivo ad un sottoinsieme non vuoto. Assurdo!
Non so se quella che ti ho dato è una dimostrazione rigorosa, non sono molto esperto di questo settore, forse va un po' oltre le mie conoscenze di matematica (teoria degli insiemi, fondamenti della matematica, ...), però spero di averti convinto.
Ma sì che mi hai convinto, d'altro canto non è che sostenessi il contrario... mi interessava sapere come stessero le cose. Grazie a tutti.
Prego! 
@Zumpawe: costruire una biiezione tra $RR$ e $]-1,1[$ è semplice se ragioni geometricamente.
Prendiamo un sistema di assi cartesiani $Oxy$ e rappresentiamo l'intervallo $]-1,1[$ sull'asse delle $x$ come il segmento $s$ d'estremi $(-1,0), \ (1,0)$ (estremi esclusi); l'insieme $RR$ invece verrà rappresentato da tutto l'asse $x$.
Chiamiamo $Gamma$ la semicirconferenza di centro $C\equiv (0,1)$, raggio $1$ e tangente il segmento $s$ in $(0,0)$ (estremi esclusi).
[asvg]xmin=-2.5;xmax=2.5;ymin=-1;ymax=4;
axes("labels");
marker="dot";
line([-1,0],[1,0]);
arc([-1,1],[1,1],1);
marker="none";
stroke="red";
dot([0,1]);
text([0,1],"C",aboveright);
text([-0.5,0.5],"Gamma",above);
text([0,0],"s",belowleft);[/asvg]
Fissa un punto $P\equiv (a,0)$ su $s$, di modo che $a \in ]-1,1[$, e traccia per $P$ la parallela all'asse $y$: tale retta interseca $Gamma$ in un unico punto $Q\equiv (a,b)$, con $0<= b <1$ da determinare mettendo a sistema l'equazione della retta con quella della circonferenza.
Dal centro $C$ di $Gamma$ traccia l'unica semiretta passante per $Q$: tale semiretta interseca l'asse $x$ in un unico punto $R=(c,0)$, con $c$ da determinare mettendo a sistema l'equazione dell'asse $x$ con quella della retta per $C$ e $Q$.
[asvg]xmin=-2.5;xmax=2.5;ymin=-1;ymax=4;
axes("labels");
marker="dot";
line([-1,0],[1,0]);
arc([-1,1],[1,1],1);
marker="none";
stroke="red";
dot([0,1]);
stroke="dodgerblue";
line([4,-1],[0,1]);
dot([2,0]);
stroke="darkgreen";
line([0.89,-2],[0.89,5]);
dot([0.89,0.55]);
stroke="orange";
dot([0.89,0]);
text([0.89,0],"P",belowleft);
text([0,1],"C",aboveright);
text([0.89,0.55],"Q",left);
text([2,0],"R",aboveright);[/asvg]
Se determini le coordinate di $R$ con i calcoli di Geometria Analitica che ti ho indicato, ti puoi convincere che l'ascissa di $R$ è una funzione dell'ascissa di $P$, ossia che $c=f(a)$.
Viceversa se prendi un punto $R$ sull'asse delle ascisse e segui il procedimento a ritroso (tracci la semiretta di origine $C$ passante per $R$; chiami $Q$ il punto d'intersezione di tale semiretta con $Gamma$; da $Q$ tracci la parallela all'asse $y$; chiami $P$ l'intersezione di tale retta con l'asse $x$) riesci a determinare un unico punto $P \in s$. Questo fatto equivale a dire che la funzione $c=f(a)$ determinata prima è invertibile, ossia che è una biiezione.
Perciò l'applicazione $c=f(a)$ è una biiezione di $]-1,1[$ in $RR$ ed è così provato che $RR$ è equipotente a $]-1,1[$.
Prendiamo un sistema di assi cartesiani $Oxy$ e rappresentiamo l'intervallo $]-1,1[$ sull'asse delle $x$ come il segmento $s$ d'estremi $(-1,0), \ (1,0)$ (estremi esclusi); l'insieme $RR$ invece verrà rappresentato da tutto l'asse $x$.
Chiamiamo $Gamma$ la semicirconferenza di centro $C\equiv (0,1)$, raggio $1$ e tangente il segmento $s$ in $(0,0)$ (estremi esclusi).
[asvg]xmin=-2.5;xmax=2.5;ymin=-1;ymax=4;
axes("labels");
marker="dot";
line([-1,0],[1,0]);
arc([-1,1],[1,1],1);
marker="none";
stroke="red";
dot([0,1]);
text([0,1],"C",aboveright);
text([-0.5,0.5],"Gamma",above);
text([0,0],"s",belowleft);[/asvg]
Fissa un punto $P\equiv (a,0)$ su $s$, di modo che $a \in ]-1,1[$, e traccia per $P$ la parallela all'asse $y$: tale retta interseca $Gamma$ in un unico punto $Q\equiv (a,b)$, con $0<= b <1$ da determinare mettendo a sistema l'equazione della retta con quella della circonferenza.
Dal centro $C$ di $Gamma$ traccia l'unica semiretta passante per $Q$: tale semiretta interseca l'asse $x$ in un unico punto $R=(c,0)$, con $c$ da determinare mettendo a sistema l'equazione dell'asse $x$ con quella della retta per $C$ e $Q$.
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text([0.89,0.55],"Q",left);
text([2,0],"R",aboveright);[/asvg]
Se determini le coordinate di $R$ con i calcoli di Geometria Analitica che ti ho indicato, ti puoi convincere che l'ascissa di $R$ è una funzione dell'ascissa di $P$, ossia che $c=f(a)$.
Viceversa se prendi un punto $R$ sull'asse delle ascisse e segui il procedimento a ritroso (tracci la semiretta di origine $C$ passante per $R$; chiami $Q$ il punto d'intersezione di tale semiretta con $Gamma$; da $Q$ tracci la parallela all'asse $y$; chiami $P$ l'intersezione di tale retta con l'asse $x$) riesci a determinare un unico punto $P \in s$. Questo fatto equivale a dire che la funzione $c=f(a)$ determinata prima è invertibile, ossia che è una biiezione.
Perciò l'applicazione $c=f(a)$ è una biiezione di $]-1,1[$ in $RR$ ed è così provato che $RR$ è equipotente a $]-1,1[$.
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