Relazione simmetrica (perplessità)
Salve a tutti!
Ho un dubbio sul seguente esercizio presente in un esonero passato, in quanto non concordo con la risposta presente nelle soluzioni che la professoressa ha postato:
2. Per ognuna delle seguenti relazioni definite in \(\displaystyle \mathbb {R} \) (nell'universo dei numeri Reali), si dica se è del tipo indicato e, in caso negativo, si elenchino tutte le proprietà che esse non soddisfano.
A. relazione che accoppia numeri con stesso quadrato
a. è un'equivalenza
b. non è un'equivalenza perché non gode della/e proprietà:_____________________________________
Ricordiamoci che per essere un'equivalenza, deve essere contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva.
La relazione r data, correggetemi se sbaglio, è la seguente:
r = {(x,y) : x² = y²}
x² = y² implica che x = y
Quindi r = {(0,0), (0.1, 0.1), (0.2, 0.2), ... , (1,1), (1.1, 1.1), (1.2, 1.2), ... , (2,2), ... , (3,3), ... , (4,4), ... }
Sappiamo che tra 0 e 1 ci sono infiniti numeri, ma non è questo che ci interessa.
Questa relazione r è banalmente riflessiva e transitiva.
La risposta corretta, secondo le soluzioni è a, ma a me sembra che sia anche antisimmetrica e non simmetrica, in quanto per ogni elemento x in relazione con y, se anche y è in relazione con x, si ha che x = y (definizione di relazione antisimmetrica). Di conseguenza ritengo che la risposta corretta sia la b, in quanto la relazione data non è simmetrica.
Detto ciò, visto che presumo di sbagliarmi, in quanto quelle soluzioni le ha postate la prof, potreste esprimere il vostro parere o, eventualmente correggermi? Grazie.
[RISOLTO DA SOLO]
Il problema di fondo era che so che l'uguaglianza è in generale una relazione d'equivalenza, ma non capivo il motivo.
Ora ho invece letto che una relazione può essere contemporaneamente sia simmetrica che antisimmetrica, quindi ho risolto.
Il post potrebbe valere la pena lasciarlo che magari potrà essere d'aiuto a qualcuno a cui viene il mio stesso dubbio.
Ho un dubbio sul seguente esercizio presente in un esonero passato, in quanto non concordo con la risposta presente nelle soluzioni che la professoressa ha postato:
2. Per ognuna delle seguenti relazioni definite in \(\displaystyle \mathbb {R} \) (nell'universo dei numeri Reali), si dica se è del tipo indicato e, in caso negativo, si elenchino tutte le proprietà che esse non soddisfano.
A. relazione che accoppia numeri con stesso quadrato
a. è un'equivalenza
b. non è un'equivalenza perché non gode della/e proprietà:_____________________________________
Ricordiamoci che per essere un'equivalenza, deve essere contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva.
La relazione r data, correggetemi se sbaglio, è la seguente:
r = {(x,y) : x² = y²}
x² = y² implica che x = y
Quindi r = {(0,0), (0.1, 0.1), (0.2, 0.2), ... , (1,1), (1.1, 1.1), (1.2, 1.2), ... , (2,2), ... , (3,3), ... , (4,4), ... }
Sappiamo che tra 0 e 1 ci sono infiniti numeri, ma non è questo che ci interessa.
Questa relazione r è banalmente riflessiva e transitiva.
La risposta corretta, secondo le soluzioni è a, ma a me sembra che sia anche antisimmetrica e non simmetrica, in quanto per ogni elemento x in relazione con y, se anche y è in relazione con x, si ha che x = y (definizione di relazione antisimmetrica). Di conseguenza ritengo che la risposta corretta sia la b, in quanto la relazione data non è simmetrica.
Detto ciò, visto che presumo di sbagliarmi, in quanto quelle soluzioni le ha postate la prof, potreste esprimere il vostro parere o, eventualmente correggermi? Grazie.
[RISOLTO DA SOLO]
Il problema di fondo era che so che l'uguaglianza è in generale una relazione d'equivalenza, ma non capivo il motivo.
Ora ho invece letto che una relazione può essere contemporaneamente sia simmetrica che antisimmetrica, quindi ho risolto.
Il post potrebbe valere la pena lasciarlo che magari potrà essere d'aiuto a qualcuno a cui viene il mio stesso dubbio.
Risposte
Premetto che il forum permette l'inserimento delle [formule][/formule] e ti consiglio di cominciare a darne un'occhiata.
Detto questo, il primo errore l'hai fatto all'inizio. La relazione \(\displaystyle r\sim q \Leftrightarrow r^2 = q^2 \) non implica affatto \(\displaystyle r = q \) ma \(\displaystyle r = \pm q \). Ho l'impressione che tu stia ignorando completamente i numeri negativi.
Il secondo errore è nel pensare che simmetrica e antisimmetrica siano opposti l'uno all'altra. Cosa non vera, infatti la relazione di uguaglianza è sia simmetrica che antisimmetrica (ed è l'unica relazione di equivalenza a possedere questa proprietà).
Detto questo la tua è una relazione di equivalenza.
Detto questo, il primo errore l'hai fatto all'inizio. La relazione \(\displaystyle r\sim q \Leftrightarrow r^2 = q^2 \) non implica affatto \(\displaystyle r = q \) ma \(\displaystyle r = \pm q \). Ho l'impressione che tu stia ignorando completamente i numeri negativi.
Il secondo errore è nel pensare che simmetrica e antisimmetrica siano opposti l'uno all'altra. Cosa non vera, infatti la relazione di uguaglianza è sia simmetrica che antisimmetrica (ed è l'unica relazione di equivalenza a possedere questa proprietà).
Detto questo la tua è una relazione di equivalenza.
Ah è vero!!! Grazie!
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