Relazione d'ordine totale

[austrapio]

Ho un dubbio su come procedere nel dimostrare che ≤ sia una relazione d'ordine totale su N.

Nella lettura che sto seguendo autonomamente di algebra ho rimaneggiato la definizione in $a≤b <=> ∃n in NN t.c. a+n=b$

Sono riuscito a dimostrare la parzialità dell'ordine ma come posso mostrare la totalità sfruttando la definizione sopra indicata?

So che dovrei dimostrare che per ogni $a,b in NN (aRb or bRa)$ con $<= := R$, insomma:

per ogni $a,b in NN, (a<=b or b<=a)$ <=> $∃n in NN t.c. a+n=b or ∃n' in NN t.c. b+n'=a$

ma non capisco come mettere assieme le due $a+n=b or b+n'=a$ per ogni a e b.Potrei forse sfruttare la proprietà dei naturali che ogni a, b è successore iterato di 0?

Cioè: $a:=s^n(0)$ e $b:=s^m(0)$ e mostrare che se $n:=s^c(0)$ mi permette di "raggiungere" $b$ sfruttando che $b:=s^m(0)+s^c(0)=s^(m+c)(0)$ oppure l'altro caso se b<=a?

Insomma, mi sono incastrato e non trovo una bella idea per mostrare quanto vorrei, chiedo un aiuto a voi

[milos144]

Adesso tutto sembra più chiaro:

se per $n$ vale $1$ o $3$, allora per $n+1$vale la $3$
Infatti
se $n=m $ o se esiste$ k≠0$ tale che $n=m+k$, allora 

$n+1=m+1$ e per $k'=1$ abbiamo $n+1=m+k'$ e pertanto vale la 3;
$n+1=m+(k+1)$ e per  $k′=k+1$ abbiamo $ n+1=m+k'$ e pertanto vale di nuovo la 3

[G.D.5]

Esatto.
Preciso solo che \(n+1=m+1\) deriva da \(n=m\) e \(n+1=m+k+1\) deriva da \(n=m+k\).