Relazione d'ordine su $Z$

[ladepie]

Negli appunti si definisce la relazione d'ordine su $Z$

$[(m,n)] <= [(m',n')] $ sse $m+n' <= n+m'$

io ho provato poi a dim che tale relazione d'ordine è compatibile con il prodotto, ovvero che

$x <= y$ e $z>0$ se $xz <= yz$ e che $x <= y$ e $z<0$ se $yz <= xz$

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Sulla seconda ho provato con le classi...
$[(m,n)] <= [(m',n')]$ e moltiplico membro a membro $z:=[(0,r)]$
$[(m,n)][(0,r)] <= [(m',n')][(0,r)]$ --> $[(nr,mr)] <= [(n'r,m'r)]$ --> $nr+m'r <= mr+n'r$

come faccio a dimostrare che il segno della disugualianza è il contrario?

[j18eos]

La tua definizione di relazione d'ordine la trovo incompleta: chi sono h & k? m' ed n' che fine fanno in tale definizione?

[ladepie]

^ corretto

[j18eos]

Secondo la tua notazione:

[tex]\forall a;b;c;d;e\in\mathbb{N}_0,\,[a\,b]=a-b;\,[c\,d]=c-d;\,[0\,e]=0-e=-e\in\mathbb{Z}[/tex]

(giusto?) quindi:

[tex]\forall m',n',m,n\in\mathbb{N}_0,\\ \,[m\,n][0\,r]=(m-n)(0-r)=m0-mr+(-n)0+(-n)(-r)=(-n)(-r)-mr\in\mathbb{Z}[/tex]

essendo:

[tex][0\,1][0\,1]=\hdots=[1\,0]\in\mathbb{Z}\Rightarrow\\ \forall[m\,n]\in\mathbb{Z},\,[m\,n][0\,r]=\hdots=nr-mr=[n\,m][r\,0]\in\mathbb{Z}[/tex]

per cui, presupponendo che tu abbia già provato che:

[tex]\forall[m\,n],[m'\,n']\in\mathbb{Z},\,[m\,n]\leq[m'\,n']\iff[n\,m]\geq[n'\,m'][/tex]

risulta che:

[tex]\forall[m\,n]\leq[m'\,n'];\,[0\,r]\in\mathbb{Z},\\ \,[m\,n][0\,r]=[n\,m][r\,0]\geq[n'\,m'][r\,0]=[m'\,n'][0\,r]\,(Q.E.D.)[/tex]