Relazione d'ordine.
Salve!
mi trovo dinnanzi a un dilemma.
sull'insieme $Z$, la relazione d'ordine $<=$ è definita, attraverso l'uso delle classi di coppie tra loro equivalenti, in questo modo:
$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-= iff m+k <= n+h$
con $[(m,n)]_-=$ e $[(h,k)]_-=$ che rappresentino la classe delle coppie equivalenti a $(m,n)$ e $(h,k)$.
dovrei dimostrare che tale definizione vale non solo per quelle particolari coppie $(m,n)$ e $(h,k)$,
ma per qualsiasi coppia ad esse equivalenti.
ho pensato di agire in questo modo:
considero le coppie $(m',n')-=(m,n)$ e $(h',k')-=(h,k)$.
quindi dovrei poter dimostrare che se vale
$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-= iff m+k <= n+h$
vale anche
$[(m',n')]_-= <= [(h',k')]_-= iff m'+k' <= n'+h'$.
rifacendomi ad una parte precedente degli appunti del docente (in cui viene definito l'insieme $Z$ in termini di classi di coppie equivalenti, e in cui vengono definite le operazioni di somma e moltiplicazione su $Z$), ho capito che tale scrittura è suggerita dalla relazione:
$(m-n) <= (h-k) iff m+k <= n+h$
quindi non so, potrei dimostrare che $(m+k <= n'+h') = (m'+k' <= n+h)$
però..non so proprio come potrei farlo.
non so da dove partire..
mi trovo dinnanzi a un dilemma.
sull'insieme $Z$, la relazione d'ordine $<=$ è definita, attraverso l'uso delle classi di coppie tra loro equivalenti, in questo modo:
$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-= iff m+k <= n+h$
con $[(m,n)]_-=$ e $[(h,k)]_-=$ che rappresentino la classe delle coppie equivalenti a $(m,n)$ e $(h,k)$.
dovrei dimostrare che tale definizione vale non solo per quelle particolari coppie $(m,n)$ e $(h,k)$,
ma per qualsiasi coppia ad esse equivalenti.
ho pensato di agire in questo modo:
considero le coppie $(m',n')-=(m,n)$ e $(h',k')-=(h,k)$.
quindi dovrei poter dimostrare che se vale
$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-= iff m+k <= n+h$
vale anche
$[(m',n')]_-= <= [(h',k')]_-= iff m'+k' <= n'+h'$.
rifacendomi ad una parte precedente degli appunti del docente (in cui viene definito l'insieme $Z$ in termini di classi di coppie equivalenti, e in cui vengono definite le operazioni di somma e moltiplicazione su $Z$), ho capito che tale scrittura è suggerita dalla relazione:
$(m-n) <= (h-k) iff m+k <= n+h$
quindi non so, potrei dimostrare che $(m+k <= n'+h') = (m'+k' <= n+h)$
però..non so proprio come potrei farlo.
non so da dove partire..
Risposte
Essendo [tex]$m-n=m'-n'$[/tex]...
"j18eos":
Essendo [tex]$m-n=m'-n'$[/tex]...
ieri notte ci stavo pensando e forse è più giusto dimostrare che
$(m'+k <= n'+h)=(m+k' <= n+h')$
quindi vediamo..
io direi che nella relazione
$m+k <= n+h$
posso fare in questo modo:
$m-n <= h-k$ (portando $n$ a sinistra cambiato di segno e $k$ a destra cambiato di segno).
per cui siccome $m-n=m'-n'$ posso affermare che
$m'-n' <= h-k iff m'+k <= n'+h$
oppure posso considerare che $h-k=h'-k'$ e dire che
$m-n <= h'-k' iff m+k' <= n+h'$.
potrebbe reggere?
Certo che regge!
"j18eos":
Certo che regge!
grazie!!!!!
Prego, di nulla!
Emm..avrei un'altra cosa da chiedere, sempre riguardo alla relazione d'ordine.
devo dimostrare che la scrittura
$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-= iff m+k <= n+h$
equivale alla scrittura
$a <= b iff (EEc)(c in N ^^^ a+c=b)$ con $(a,b in Z)$
Io l'avrei fatto in questo modo:
$(m,n) <= (h,k) iff m+k <= n+h$
per cui, considerando $m+k <= n+h$ ottengo
$m <= n+h-k$ ma io so che $(h-k)=r$, dove con $r$ indico la differenza, e $r in N$
per cui avrò $m <= n+r$
dove $m$ corrisponderà all'intero $b$, $n$ corrisponderà all'intero $a$
e $r$ corrisponderà al naturale $c$
può reggere anche questa??? a me pare un pochino forzata..
devo dimostrare che la scrittura
$[(m,n)]_-= <= [(h,k)]_-= iff m+k <= n+h$
equivale alla scrittura
$a <= b iff (EEc)(c in N ^^^ a+c=b)$ con $(a,b in Z)$
Io l'avrei fatto in questo modo:
$(m,n) <= (h,k) iff m+k <= n+h$
per cui, considerando $m+k <= n+h$ ottengo
$m <= n+h-k$ ma io so che $(h-k)=r$, dove con $r$ indico la differenza, e $r in N$
per cui avrò $m <= n+r$
dove $m$ corrisponderà all'intero $b$, $n$ corrisponderà all'intero $a$
e $r$ corrisponderà al naturale $c$
può reggere anche questa??? a me pare un pochino forzata..
Sì, anche questa regge; a meno dell'ipotesi che [tex]$h-k\in\mathbb{N}$[/tex].
"j18eos":
Sì, anche questa regge; a meno dell'ipotesi che [tex]$h-k\in\mathbb{N}$[/tex].
mm ok, quindi $h-k$ può anche appartenere a $Z$?!
ora sto cercando di dimostrare alcune relazioni che però non riesco a dimostrare.
sarebbe questo:
$x <= y => x+z <= y+z$ con $x,y,z in Z$
io la inizio in questo modo.
$(m,n) <= (h,k) iff m+k <= n+h$
siccome $(m,n)+(p,q) <= (h,k)+(p,q) =$
$= (m+p,n+q) <= (h+p, k+q) iff (m+p)+(k+q) <= (n+q)+(h+p)$
credo di dover dimostrare che
$(m+k <=n+h) = ((m+p)+(k+q) <= (n+q)+(h+p))$
ma non so se va bene.
e non so nemmeno come continuare... nel senso che forse basterebbe semplificare $p$ e $q$ portandoli dall'altra parte del simbolo di $<=$ cambiandoli di segno..
Ti rispondo al solo primo rigo: dipende dalla definizione di equivalenza che hai usato; prova a vederla dal libro!
"j18eos":
Ti rispondo al solo primo rigo: dipende dalla definizione di equivalenza che hai usato; prova a vederla dal libro!
ho usato solo queste questa relazione d'ordine,che poi è quella che ho usato per le dimostrazioni precedenti.
ossia
$[m,n]_-= <= [h,k]_-= iff m+k <= n+h$
e
$a <= b iff (EEc)(c in N ^^ a+c=b)$
il fatto è che forse sbaglio proprio ragionamento.
perchè è intuitivo fare l'esempio, e trattandosi di una cosa parecchio familiare, è più difficile ragionarci in modo "astratto".
mentre ci sono altre cose per cui è più difficile proporre un esempio.
La domanda di fondo è: [tex]$(m;n)\equiv(l;p)\iff\hdots$[/tex]
...non so che definizione dovrei dare...
$(m,n)-=(l,p) iff (m-n)=(l-p)$
oppure posso dire che
$(m,n)-=(l,p) iff (m,n)<=(l,p) ^^ (l,p)<=(m,n)$
ma non capisco dove si vuole arrivare..
$(m,n)-=(l,p) iff (m-n)=(l-p)$
oppure posso dire che
$(m,n)-=(l,p) iff (m,n)<=(l,p) ^^ (l,p)<=(m,n)$
ma non capisco dove si vuole arrivare..
Da quanto scritto devono essere per costruzione [tex]$m-n=l-p\in\mathbb{N}$[/tex] quindi il mio dubbio svanisce!
Se tu ci avessi fatto caso è ovvio per definizione che [tex]$h-k\in\mathbb{N}$[/tex]; mi sembra che tu debba tenere più sott'occhio la teoria soggiacente!
Se tu ci avessi fatto caso è ovvio per definizione che [tex]$h-k\in\mathbb{N}$[/tex]; mi sembra che tu debba tenere più sott'occhio la teoria soggiacente!
"j18eos":
Da quanto scritto devono essere per costruzione [tex]$m-n=l-p\in\mathbb{N}$[/tex] quindi il mio dubbio svanisce!
Se tu ci avessi fatto caso è ovvio per definizione che [tex]$h-k\in\mathbb{N}$[/tex]; mi sembra che tu debba tenere più sott'occhio la teoria soggiacente!
ah ecco ^^
ora si è chiaro!!!!
"j18eos":
La domanda di fondo è: [tex]$(m;n)\equiv(l;p)\iff\hdots$[/tex]
in realtà ciò che veniva richiesto di dimostrare non era ciò che avevo capito io
dovevo semplicemente dimostrare che si trattasse effettivamente di una relazione d'ordine, il che è facilissimo.
e ora che ho passato tutta quella parte di algebra e sono andata parecchio avanti, mi rendo conto di quanto poco semplice sia all'inizio fare delle dimostrazioni perchè si cerca sempre il metodo più complicato e laborioso, e\o spesse volte errato. mentre la maggior parte delle volte (almeno per gli inizi) si tratta di cose immediate o che richiedono solo un minimo di attenzione e concentrazione.
Con le dimostrazioni io ci ho messo la croce nera: i passaggi critici li imparo solo per l'esame eppoi addio, i passaggi "standard" li ricordo ma all'inizio era una strage!
"Tagliafico":
[quote="j18eos"]Sì, anche questa regge; a meno dell'ipotesi che [tex]$h-k\in\mathbb{N}$[/tex].
mm ok, quindi $h-k$ può anche appartenere a $Z$?!
[/quote]
per definizione $h-k = r$ con $h,k in NN$
A $ZZ$ invece appartiene $r$ che e' definito come classe di equivalenza $r := [(h,k)]_-=$ con $h>k$
correzione: $r := [(h,k)]_-=$ $ in NN$, mentre $-r := [(k,h)]_-=$ $ in ZZ$ con $h>k$
"Tagliafico":
[quote="j18eos"]Sì, anche questa regge; a meno dell'ipotesi che [tex]$h-k\in\mathbb{N}$[/tex].
mm ok, quindi $h-k$ può anche appartenere a $Z$?!
ora sto cercando di dimostrare alcune relazioni che però non riesco a dimostrare.
sarebbe questo:
$x <= y => x+z <= y+z$ con $x,y,z in Z$
io la inizio in questo modo.
$(m,n) <= (h,k) iff m+k <= n+h$
siccome $(m,n)+(p,q) <= (h,k)+(p,q) =$
$= (m+p,n+q) <= (h+p, k+q) iff (m+p)+(k+q) <= (n+q)+(h+p)$
credo di dover dimostrare che
$(m+k <=n+h) = ((m+p)+(k+q) <= (n+q)+(h+p))$
ma non so se va bene.
e non so nemmeno come continuare... nel senso che forse basterebbe semplificare $p$ e $q$ portandoli dall'altra parte del simbolo di $<=$ cambiandoli di segno..[/quote]
per questa dimostrazione potremmo usare l'elemento neutro della somma: $[(0,0)]_-=$
per cui avremmo $[(p,q)]_-= = [(0,0)]_-=$ e
$[(m,n)]_-=+[(0,0)]_-= <= [(h,k)]_-= + [(0,0)]_-=$
$(m+0)-(n+0) <= (h+0)-(k+0)$
$(m-n) <= (h-k)
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