Relazione di Equivalenza - Verfica svolgimento
Ciao a tutti,
mi sono imbattuto in un esercizio del mio libro che dice:
Fissato \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) sia \(\displaystyle \varrho \) la seguente relazione definita su \(\displaystyle \mathbb{Z} \) :
\(\displaystyle a\varrho b (mod n) \Leftrightarrow a-b=kn \) , n intero.
Si provi che \varrho è una relazione di equivalenza.
Per provare che è una relazione di equivalenza, provo che è Riflessiva, Simmetrica e Trasitiva quindi
Riflessiva:
significa che \(\displaystyle a \) è in relazione con \(\displaystyle a \) se e solo se \(\displaystyle a-a = kn \) e visto che \(\displaystyle k \in \mathbb{Z} \) posso prendere \(\displaystyle k=0 \) e quindi posso dire che è riflessiva
Simmetrica:
\(\displaystyle aRb \Leftrightarrow a-b=kn \) dal momento che \(\displaystyle k \in \mathbb{Z} \) posso dire che \(\displaystyle \exists k \in \mathbb{Z} | a-b=kn \)
allora anche \(\displaystyle bRa \Leftrightarrow b-a=kn \) è verificata per lo stesso motivo di prima
Transitiva:
\(\displaystyle aRb \), \(\displaystyle bRc \) e dimostro che \(\displaystyle aRc \)
\(\displaystyle aRb \Leftrightarrow a-b=k_1n \)
\(\displaystyle bRc \Leftrightarrow b-c=k_2n \)
\(\displaystyle aRc \Leftrightarrow a-c=k_3n \)
quindi se sostituisco nelle prime 2 il valore di \(\displaystyle b \) ottengo che \(\displaystyle a-(k_2n + c)=k_1n \) ovvero \(\displaystyle a-k_2n-c= k_1n \) da cui \(\displaystyle a-c=k_2n+k_1n \) che mi porta ad avere \(\displaystyle a-c=(k_1+k_2)n \)
di qui deduco che posso prendere \(\displaystyle k_3=k2+k_1 \) e quindi ho dimostrato che è transitiva
a questo punto vi chiedo, è giusta come soluzione?
GRAZIE MILLE A TUTTI
mi sono imbattuto in un esercizio del mio libro che dice:
Fissato \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) sia \(\displaystyle \varrho \) la seguente relazione definita su \(\displaystyle \mathbb{Z} \) :
\(\displaystyle a\varrho b (mod n) \Leftrightarrow a-b=kn \) , n intero.
Si provi che \varrho è una relazione di equivalenza.
Per provare che è una relazione di equivalenza, provo che è Riflessiva, Simmetrica e Trasitiva quindi
Riflessiva:
significa che \(\displaystyle a \) è in relazione con \(\displaystyle a \) se e solo se \(\displaystyle a-a = kn \) e visto che \(\displaystyle k \in \mathbb{Z} \) posso prendere \(\displaystyle k=0 \) e quindi posso dire che è riflessiva
Simmetrica:
\(\displaystyle aRb \Leftrightarrow a-b=kn \) dal momento che \(\displaystyle k \in \mathbb{Z} \) posso dire che \(\displaystyle \exists k \in \mathbb{Z} | a-b=kn \)
allora anche \(\displaystyle bRa \Leftrightarrow b-a=kn \) è verificata per lo stesso motivo di prima
Transitiva:
\(\displaystyle aRb \), \(\displaystyle bRc \) e dimostro che \(\displaystyle aRc \)
\(\displaystyle aRb \Leftrightarrow a-b=k_1n \)
\(\displaystyle bRc \Leftrightarrow b-c=k_2n \)
\(\displaystyle aRc \Leftrightarrow a-c=k_3n \)
quindi se sostituisco nelle prime 2 il valore di \(\displaystyle b \) ottengo che \(\displaystyle a-(k_2n + c)=k_1n \) ovvero \(\displaystyle a-k_2n-c= k_1n \) da cui \(\displaystyle a-c=k_2n+k_1n \) che mi porta ad avere \(\displaystyle a-c=(k_1+k_2)n \)
di qui deduco che posso prendere \(\displaystyle k_3=k2+k_1 \) e quindi ho dimostrato che è transitiva
a questo punto vi chiedo, è giusta come soluzione?
GRAZIE MILLE A TUTTI
Risposte
C'è un leggero errore formale nella dimostrazione della proprietà simmetrica per \(\displaystyle\varrho\)!
"j18eos":
C'è un leggero errore formale nella dimostrazione della proprietà simmetrica per \(\displaystyle\varrho\)!
mmm... nel senso che ho sbagliato la dimostrazione della simmetria, ma cmq la relazione è simmetrica? o che ho tralasciato qualcosa nella dimostrazione?
No, impegni la lettera \(\displaystyle k\) per due numeri interi che a priori non è detto che siano lo stesso! [size=85]E non è la prima volta.[/size] 
Giusto, hai ragione, lo faccio spesso questo errore , grazie per avermelo fatto notare
Prego, di nulla! 
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