Relazione Di Equivalenza - Sistema di Rappresentanti

[Nulier]

La consegna dell'esercizio è la seguente:

Consideriamo su $X:= \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ la relazione $\approx$ così definita:
$\forallx,y,z,w\in\mathbb(R)$ $(x,y)\approx(z,w) \Leftrightarrow \exists a\in\mathbb(R): y=x^3+a\quadw=z^3+a$
Dimostrare che:
1. $\approx$ è una relazione di equivalenza su $X$;
2. Determinare un sistema di rappresentanti per $X\backslash\approx$

La risoluzione del punto 1 è piuttosto elementare, quello che mi interessa è il punto 2.
$\forall x,y,z,w\in\mathbb(R):\quadx=z$ e $y\new$ si ha $y-a=w-b$, con $a\in\mathbb(R):\quady=x^3+a$ e $b\in\mathbb(R):\quadw=z^3+b$. Per le premesse, si ha $a\neb$ cioè $(x,y)\notin[(z,w)]_\approx$.
Dunque le seguenti coppie ordinate individuano tutte classi di equivalenza differenti: $(0,1),(0,2),(0,3),...,(0,y)$.
In particolare, per la coppia $(0,y)$ con $y\in\mathbb(R)$ si ha che $a=y$. E' dunque lecito affermare che l'insieme $E={(0,x)|x\in\mathbb(R)}$, potendo individuare $\foralla\in\mathbb(R)$ con $[(0,a)]_\approx$ la classe di equivalenza ad esso associata, è un sistema di rappresentanti per $X\backslash\approx$?

[Maci86]

La partizione di $RR^2$ è data dalle curve $y=x^3$ traslate, quindi i rappresentanti possiamo trovarli semplicemente fissando la $x=0$ e modificando le $y$. Quindi le classi saranno date da:
${(0,y): y in RR}$.