Relazione di equivalenza generata da una funzione.

[Pasquale 90]

Buongiorno, vi vorrei chiedere,
se considero: $f:S to T$ e siano $x\,\y \ in S$ e sia

$xR_fy \ leftrightarrow\ f(x)=f(y)$

cioè la relazione di equivalenza generata da $f$

è possibile determinare l'iniettività e la suriettività di $f$ in relazione alla cardinalità di $[x]_(R_f) ?$

Ciao

[marco.ruggiero]

$f$ è iniettiva se e soltanto se $|[x]_(R_f)|=1$ per ogni $x in S$ (dimostralo per esercizio).
Per quanto riguarda la suriettività, in generale, non è legata alla cardinalità delle classi $[x]_(R_f)$.

[Pasquale 90]

Considero $f$ come prima;

Sia $f$ iniettiva si ha
$[x]_(R_f)={y in S: x\R_(f)\y}={y in S: f(x)=f(y)}=f^(-1)(f(x))=f^(-1)(f({x}))={x}$ si ha la tesi.

Viceversa, siano $x\,\y in S \:\ x ne y$ per ipotesi $[x]_(R_f)={x}$ e $[y]_(R_f)={y}$ allora

$[x]_(R_f) ne [y]_(R_f) to [x]_(R_f) cap [y]_(R_f) = emptyset \ qquad (x,y) to notin R_f \ to \ f(x) ne f(y)$

quindi $f$ è iniettiva.

?

[solaàl]

"Pasquale 90":Buongiorno, vi vorrei chiedere,
se considero: $f:S to T$ e siano $x\,\y \ in S$ e sia

$xR_fy \ leftrightarrow\ f(x)=f(y)$

cioè la relazione di equivalenza generata da $f$

è possibile determinare l'iniettività e la suriettività di $f$ in relazione alla cardinalità di $[x]_(R_f) ?$

Ciao

La cardinalità della classe di x non ha ruolo nella suriettività di $f$; essa è suriettiva se e solo se \(\bar f : S/R_f \to T\) è suriettiva. (Usualmente, allora, se e solo se è biiettiva, perché \(\bar f\) è sempre iniettiva).

[Pasquale 90]

Ma se $f$ è suriettiva, non risulta necesarriamente che $|[x]_(R_f)| ne emptyset$

[solaàl]

Nessuna classe di equivalenza di un quoziente \(X/R\) è mai vuota, perché ogni elemento di $X$ è in relazione $R$ almeno con sé stesso.