Relazione di Equivalenza
Salve , l'esercizio consiste nel capire se a,b,c,d siano relazioni di equivalenza.
Una relazione di equivalenza per definizione deve rispettare 3 proprietà
Riflessiva
Simmetrica
Transitiva
Ma non riesco a svolgere questo esercizio:
Nel caso C vengono rispettate tutte e tre le proprietà e quindi è una relazione di equivalenza (Spero almeno in questa di non sbagliare)
Riflessiva perchè \(|x| = |x|\) è verificata
Simmetrica perchè se \(|x| = |y|\) allora anche \(|y| = |x|\) è verificata
Transitiva perchè se \(|x| = |y|\) e \(|y| = |z|\) allora anche \(|x| = |z|\)
Per i restanti 3 (a,b,d) non so proprio come comportarmi
Grazie in anticipo dell'aiuto
[xdom="vict85"]Benvenuto/a. Per questa volta ho fatto io, ma per la prossima volta ti consiglio di non inserire il testo come immagine e di usare le [formule][/formule]. Usare le formule rende il testo molto più leggibile e le immagini possono essere cancellate dal server in futuro.
EDIT: Mi sa che copiando ho fatto un errore nella (d): avevo messo un \(=\) ma penso che un \(\neq\) fosse quello giusto dato che con \(=\) sarebbe banalmente sbagliato (verrebbe banalmente a mancare la riflessività).[/xdom]
Una relazione di equivalenza per definizione deve rispettare 3 proprietà
Riflessiva
Simmetrica
Transitiva
Ma non riesco a svolgere questo esercizio:
Dire se le seguenti relazioni \(R\) su un insieme \(A\) sono delle relazioni di equivalenza:
[list=a][*:3uy7sfm8] \(A=\mathbb{Z}\), \(xRy\) se e solo se \(4|(x-y)\);[/*:m:3uy7sfm8]
[*:3uy7sfm8] \(A=\mathbb{Z}\), \(xRy\) se e solo se \(4|(x+y)\);[/*:m:3uy7sfm8]
[*:3uy7sfm8] \(A = \wp(B)\), \(B\) un insieme, \(xRy\) se e solo se \(|x|=|y|\);[/*:m:3uy7sfm8]
[*:3uy7sfm8] \(A = \wp(B)\), \(B\) un insieme, \(xRy\) se e solo se \(x\cap y \neq \emptyset\); [/*:m:3uy7sfm8][/list:o:3uy7sfm8]
Nel caso C vengono rispettate tutte e tre le proprietà e quindi è una relazione di equivalenza (Spero almeno in questa di non sbagliare)
Riflessiva perchè \(|x| = |x|\) è verificata
Simmetrica perchè se \(|x| = |y|\) allora anche \(|y| = |x|\) è verificata
Transitiva perchè se \(|x| = |y|\) e \(|y| = |z|\) allora anche \(|x| = |z|\)
Per i restanti 3 (a,b,d) non so proprio come comportarmi
Grazie in anticipo dell'aiuto
[xdom="vict85"]Benvenuto/a. Per questa volta ho fatto io, ma per la prossima volta ti consiglio di non inserire il testo come immagine e di usare le [formule][/formule]. Usare le formule rende il testo molto più leggibile e le immagini possono essere cancellate dal server in futuro.
EDIT: Mi sa che copiando ho fatto un errore nella (d): avevo messo un \(=\) ma penso che un \(\neq\) fosse quello giusto dato che con \(=\) sarebbe banalmente sbagliato (verrebbe banalmente a mancare la riflessività).[/xdom]
Risposte
Riguardo al tuo tentativo per \(C\), dovresti spenderci un po' più parole. Il tuo testo sembra quasi un "quella relazione è di equivalenza perché lo è". Per dare meno questa impressione potresti parlare in termini di presenza di una biezione tra i due insiemi. Quindi vale \(xRx\) perché l'identità di \(x\) è una biezione. La simmetria vale perché l'inversa di una biezione è ancora un biezione. La transitiva vale perché la composizione di funzioni biettive è ancora biettiva. Ma la tua risposta non è sbagliata.
Per (a), \(xRy\) se e solo se \(\exists k\), tale che \(x - y = 4k\). Per la relazione riflessiva, basta prendere \(k = 0\). Per quella simmetrica, se \(x - y = 4k\) allora \(y - x = -4k\) quindi anch'essa vale. Per la transitiva, sai che \(x - y = 4k_1\) e \(y - z = 4k_2\). A questo punto di basta osservare che \(x - z = x - y + y - z = 4k_1 + 4k_2 = 4(k_1 + k_2)\).
Per la (b) i ragionamenti sono simili (ma non necessariamente il risultato, sta a te scoprire se lo è o meno).
Per (a), \(xRy\) se e solo se \(\exists k\), tale che \(x - y = 4k\). Per la relazione riflessiva, basta prendere \(k = 0\). Per quella simmetrica, se \(x - y = 4k\) allora \(y - x = -4k\) quindi anch'essa vale. Per la transitiva, sai che \(x - y = 4k_1\) e \(y - z = 4k_2\). A questo punto di basta osservare che \(x - z = x - y + y - z = 4k_1 + 4k_2 = 4(k_1 + k_2)\).
Per la (b) i ragionamenti sono simili (ma non necessariamente il risultato, sta a te scoprire se lo è o meno).
Nella (b) il procedimento è identico quindi
\(\displaystyle xRy \) se e solo se \(\displaystyle ∃k \), tale che \(\displaystyle x+y=4k \). Anche qui basta prendere \(\displaystyle k=0 \). Per quella simmetrica, se \(\displaystyle x+y=4k \) allora \(\displaystyle y+x=4k \) quindi anch'essa vale.
Per la transitiva \(\displaystyle x+y=4k1 e y+z=4k2 \) , quindi come prima \(\displaystyle x+z=x+y+y+z=4k1+4k2=4(k1+k2) \).
Nella (d) invece le proprietà riflessiva e transitiva non vengono rispettate (credo) , quindi la scarterei a priori
Cosi che le equazioni che portano una relazione di equivalenza sarebbero (a,b,c)
E se al posto di 4 ci fosse 5 (nella a e nella b) il risultato sarebbe identico? (Scusa la domanda probabilmente stupida)
\(\displaystyle xRy \) se e solo se \(\displaystyle ∃k \), tale che \(\displaystyle x+y=4k \). Anche qui basta prendere \(\displaystyle k=0 \). Per quella simmetrica, se \(\displaystyle x+y=4k \) allora \(\displaystyle y+x=4k \) quindi anch'essa vale.
Per la transitiva \(\displaystyle x+y=4k1 e y+z=4k2 \) , quindi come prima \(\displaystyle x+z=x+y+y+z=4k1+4k2=4(k1+k2) \).
Nella (d) invece le proprietà riflessiva e transitiva non vengono rispettate (credo) , quindi la scarterei a priori
Cosi che le equazioni che portano una relazione di equivalenza sarebbero (a,b,c)
E se al posto di 4 ci fosse 5 (nella a e nella b) il risultato sarebbe identico? (Scusa la domanda probabilmente stupida)
No, la seconda non è transitiva. Infatti quel giochetto non funziona. Per esempio, per (a) risulta che \(1R5\) e che \(5R17\). È facile osservare che \(1R16\) è anch'esso valido e che \(-16 = 1 - 17 = 1 + 0 - 16 = 1 - 5 + 5 - 17 = -4 - 12\).
Invece per (b), \(3R5\) e \(5R11\) ma \(3R11\) non è vero. Riguardo la dimostrazione, \(a + b \neq a + 2c + b\).
Per la (d) è giusto il testo che è scritto in questa pagina o era giusto come avevo scritto prima con \(=\)?
Se la relazione è \(x\cap y = \emptyset\) come avevo scritto prima di correggere, la relazione non è certamente né rifressiva né transitiva.
Se la relazione è \(x\cap y \neq \emptyset\), invece, si tratta di una relazione riflessiva e simmetrica. Ma effettivamente non transitiva (prova a creare un controesempio).
Se hai capito la dimostrazione che ti ho fatto, non dovresti avere problemi a rispondere alla tua domanda.
Invece per (b), \(3R5\) e \(5R11\) ma \(3R11\) non è vero. Riguardo la dimostrazione, \(a + b \neq a + 2c + b\).
Per la (d) è giusto il testo che è scritto in questa pagina o era giusto come avevo scritto prima con \(=\)?
Se la relazione è \(x\cap y = \emptyset\) come avevo scritto prima di correggere, la relazione non è certamente né rifressiva né transitiva.
Se la relazione è \(x\cap y \neq \emptyset\), invece, si tratta di una relazione riflessiva e simmetrica. Ma effettivamente non transitiva (prova a creare un controesempio).
Se hai capito la dimostrazione che ti ho fatto, non dovresti avere problemi a rispondere alla tua domanda.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo