Relazione di equivalenza

[faby99s]

$ \x\in\Z \iff\EE b= a\Longrightarrow\a=a $Buonasera ho questo esercizio, sia:
Consideriamo la relazione di binaria R definita in Q da: $∀a, b ∈ Q aRb ⇐⇒ (∃z∈Z)(a=b+z)$
(i) Provare che R è una relazione di equivalenza;
(ii) descrivere $\[0]_R$,$\[3]_R$ e $\[1/2]_R$.
Io ho risolto cosí:

1)Riflessiva:
$\x\in\Z \iff\EE b= a\rightarrow\a=a$

quindi è riflessiva.

2) Simmetrica:
$\AA a, b\in\A$
$\(aRb \rightarrow\bRa)$
Cioè:

$\a = b+z \rightarrow\ -b-z=-a \rightarrow\ b+z=a$

quindi è simmetrica

3)Transitiva:
$\AA a, b, c \in A$
$\((aRb \wedge\ bRc)\rightarrow\aRc)$
cioè:
1) $a=b+z$
2)$b+z=c+h$

da cui:

$\a=c+h$

quindi e transitiva ed è una relazione di equivalenza.

(ii)
$\[0]_R={0}$
$\[3]_R= {3}$
$\[1/2]_R={1/2}$
giusto?

[l'abatefarina]

non direi , devi osservare bene qual è la legge che definisce $R$ e poi bisogna essere precisi al limite della pedanteria
$ xRx$ perchè $exists z in Z$ tale che che $x=x+z$; questa $z$ è ovviamente lo $0$
$xRy$ vuol dire che $existszin Z: x=y+z$; ma allora $y=x-z$ e quindi $yRx$ perchè ovviamente $-zin Z$
$xRy;yRu$ vuol dire che $existsz,z'in Z: x=y+z;y=u+z'$ quindi $x=u+z+z'$ cioè $xRu$ perchè $z+z'in Z$
quanto al resto, penso che con quei simboli stia intendendo le classi di equivalenza
se è così,
$[0]={x inQ: exists zin Z : x=0+z}=Z$
per lo stesso ragionamento si ha $[3]=Z$
$[1/2]={x in Q: exists z in Z: x=1/2+z}$

[faby99s]

ah grazie...ma scusa per le classi di equivalenza, non le ho capite tanto bene potresti spiegarmi meglio come hai fatto a calcolarle

[l'abatefarina]

la classe di equivalenza di un elemento è l'insieme di tutti gli elementi che sono in relazione con esso
quindi, ad esempio,per come è formulata $R$, l'insieme di tutti gli elementi in relazione con $0$ è $Z$
l'insieme di tutti gli elementi in relazione con $1/2$ è formato da $1/2,3/2,-1/2,....$

[faby99s]

Ah capito...grazie mille