Relazione di equivalenza !!!
\( \displaystyle \mathfrak R_1 \)Salve a tutti, come da titolo ho il seguente esercizio che non riesco a risolvere:
Mostrare con un esempio che:
Se \(\displaystyle \mathfrak R_1 \) = (\(\displaystyle S^2,G_1 \)) e \(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2,G_2 \)) sono entrambi relazioni di equivalenza in un insieme non vuoto \(\displaystyle S \), la relazione binaria \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2,G_1 \cup G_2 \)) in \(\displaystyle S \) non è in generale una relazione di equivalenza.
Posto \(\displaystyle S \)= \(\displaystyle \mathbb{Z} \).
Ho considerato per \(\displaystyle \mathfrak R_1 \) in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) la seguente relazione:
\(\displaystyle a-b \) \(\displaystyle \in \) \(\displaystyle \mathbb{Z} \).
Invece ho considerato per \(\displaystyle \mathfrak R_2 \) in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) la seguente relazione:
\(\displaystyle a-b=2k \) | \(\displaystyle \exists k \) \(\displaystyle \in \) \(\displaystyle \mathbb{Z} \).
Di cui entrambi risultano essere di equivalenza.
Ora il mio problema è, come posso dimostrare se è possibile che le due relazioni \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2,G_1 \cup G_2 \)), siano di equivalenza.
Grazie per la risposta.
Mostrare con un esempio che:
Se \(\displaystyle \mathfrak R_1 \) = (\(\displaystyle S^2,G_1 \)) e \(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2,G_2 \)) sono entrambi relazioni di equivalenza in un insieme non vuoto \(\displaystyle S \), la relazione binaria \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2,G_1 \cup G_2 \)) in \(\displaystyle S \) non è in generale una relazione di equivalenza.
Posto \(\displaystyle S \)= \(\displaystyle \mathbb{Z} \).
Ho considerato per \(\displaystyle \mathfrak R_1 \) in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) la seguente relazione:
\(\displaystyle a-b \) \(\displaystyle \in \) \(\displaystyle \mathbb{Z} \).
Invece ho considerato per \(\displaystyle \mathfrak R_2 \) in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) la seguente relazione:
\(\displaystyle a-b=2k \) | \(\displaystyle \exists k \) \(\displaystyle \in \) \(\displaystyle \mathbb{Z} \).
Di cui entrambi risultano essere di equivalenza.
Ora il mio problema è, come posso dimostrare se è possibile che le due relazioni \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2,G_1 \cup G_2 \)), siano di equivalenza.
Grazie per la risposta.
Risposte
"galles90":
Mostrare con un esempio che:
... la relazione binaria \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2,G_1 \cup G_2 \)) in \(\displaystyle S \) non è in generale una relazione di equivalenza.
"galles90":
... le due relazioni \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2,G_1 \cup G_2 \)), siano di equivalenza.
P.S.
Per usare il compilatore \( \LaTeX \) ti basta mettere i delimitatori all'inizio e alla fine dell'intera formula, non occorre usare una coppia di delimitatori per \( \mathfrak{R}_{1} \), un'altra coppia di delimitatori per \( \mathfrak{R}_{2} \) ed un'altra coppia ancora per \( \displaystyle \left ( S^{2}, G_{1} \cup G_{2} \right ) \), lasciando fuori \( * \) e \( = \).
Mi rendo conto che la mia risposta possa sembrare una provocazione gratuita senza alcun senso (del tipo: "Questo, anziché aiutarmi, tiene il punto sulla grammatica") ma non è così. Infatti con \( \mathfrak{R}_{1} \) e \( \mathfrak{R}_{2} \) relazioni d'equivalenza definite così come le hai definite, la relazione \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} := \left ( S^{2}, G_{1} \cup G_{2} \right ) \) è d'equivalenza. Tuttavia questo non accade sempre.
Quindi: innanzitutto cosa vuoi fare? Provare che la tua \( \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \) è d'equivalenza o costruire una \( \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \) che non lo sia?
Quindi: innanzitutto cosa vuoi fare? Provare che la tua \( \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \) è d'equivalenza o costruire una \( \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \) che non lo sia?
No si figuri, l'importante è arrivare alla soluzione, quindi le dico subito il mio problema. Date le due relazioni di equivalenza \(\displaystyle \mathfrak R_1 \) e \(\displaystyle \mathfrak R_2 \) come sono state già definite,vorrei vedere la dimostrazione se è possibile. La quale mi dimostra effettivamente che la relazione \(\displaystyle \mathfrak R_1 * R_2 := ( S^2,G_1 \cup G_2 ) \) è di equivalenza. Grazie per la risposta.
Ciao G.D. nessuna risposta 
Ciaoooo
Ciaoooo
Perché mi dai del Lei?! Non serve: non sono mica il tuo professore!
Ciò detto, veniamo all'argomento del topic.
Hai posto \( \displaystyle S = \mathbb{Z} \). Quindi: \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} = \bigl ( \mathbb{Z}^{2}, G_{1} \bigr ) \) e \( \displaystyle \mathfrak{R}_{2} = \bigl ( \mathbb{Z}^{2}, G_{2} \bigr ) \), con \( \displaystyle G_{1}, G_{2} \subseteq \mathbb{Z}^{2} \).
Per \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} \) hai posto \( a \mathfrak{R}_{1} b \iff a - b \in \mathbb{Z} \); quindi \( \displaystyle G_{1} = \bigl \{ ( a, b ) \in \mathbb{Z}^{2} \mid a - b \in \mathbb{Z} \bigr \} = \mathbb{Z}^{2} \), da cui \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} = \bigl ( \mathbb{Z}^{2}, \mathbb{Z}^{2} \bigr ) \).
Per \( \displaystyle \mathfrak{R}_{2} \) hai posto \( a \mathfrak{R}_{2} b \iff \exists k \in \mathbb{Z} : a - b = 2k \); quindi \( \displaystyle G_{2} = \bigl \{ ( a, b ) \in \mathbb{Z}^{2} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : a - b = 2k \bigr \} \).
Sia \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} \) che \( \displaystyle \mathfrak{R}_{2} \) sono di equivalenza.
Per definizione il grafico di \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \) è \( \displaystyle G_{1} \cup G_{2} \) e per quanto sopra si ha che \( \displaystyle G_{1} \cup G_{2} = \mathbb{Z}^{2} \cup G_{2} = \mathbb{Z}^{2} \). Da ciò si ha che \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} = \bigl ( \mathbb{Z}^2, \mathbb{Z}^{2} \bigr ) = \mathfrak{R}_{1} \).
Poiché \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} \) è di equivalenza, è di equivalenza anche \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \).
Tuttavia questo non risponde alla consegna dell'esercizio: infatti ti viene chiesto di esibire un esempio in cui \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \) non sia di equivalenza.
Suggerimento: non pensare alle relazioni come a insiemi che rispettano una determinata proprietà che lega \( a \) e \( b \) (quindi una relazione in senso logico tra \( a \) e \( b \)), pensa alle relazioni come insiemi e basta. Sarà più facile costruire un esempio che risponda alla richiesta dell'esercizio.
Ciò detto, veniamo all'argomento del topic.
Hai posto \( \displaystyle S = \mathbb{Z} \). Quindi: \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} = \bigl ( \mathbb{Z}^{2}, G_{1} \bigr ) \) e \( \displaystyle \mathfrak{R}_{2} = \bigl ( \mathbb{Z}^{2}, G_{2} \bigr ) \), con \( \displaystyle G_{1}, G_{2} \subseteq \mathbb{Z}^{2} \).
Per \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} \) hai posto \( a \mathfrak{R}_{1} b \iff a - b \in \mathbb{Z} \); quindi \( \displaystyle G_{1} = \bigl \{ ( a, b ) \in \mathbb{Z}^{2} \mid a - b \in \mathbb{Z} \bigr \} = \mathbb{Z}^{2} \), da cui \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} = \bigl ( \mathbb{Z}^{2}, \mathbb{Z}^{2} \bigr ) \).
Per \( \displaystyle \mathfrak{R}_{2} \) hai posto \( a \mathfrak{R}_{2} b \iff \exists k \in \mathbb{Z} : a - b = 2k \); quindi \( \displaystyle G_{2} = \bigl \{ ( a, b ) \in \mathbb{Z}^{2} \mid \exists k \in \mathbb{Z} : a - b = 2k \bigr \} \).
Sia \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} \) che \( \displaystyle \mathfrak{R}_{2} \) sono di equivalenza.
Per definizione il grafico di \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \) è \( \displaystyle G_{1} \cup G_{2} \) e per quanto sopra si ha che \( \displaystyle G_{1} \cup G_{2} = \mathbb{Z}^{2} \cup G_{2} = \mathbb{Z}^{2} \). Da ciò si ha che \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} = \bigl ( \mathbb{Z}^2, \mathbb{Z}^{2} \bigr ) = \mathfrak{R}_{1} \).
Poiché \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} \) è di equivalenza, è di equivalenza anche \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \).
Tuttavia questo non risponde alla consegna dell'esercizio: infatti ti viene chiesto di esibire un esempio in cui \( \displaystyle \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \) non sia di equivalenza.
Suggerimento: non pensare alle relazioni come a insiemi che rispettano una determinata proprietà che lega \( a \) e \( b \) (quindi una relazione in senso logico tra \( a \) e \( b \)), pensa alle relazioni come insiemi e basta. Sarà più facile costruire un esempio che risponda alla richiesta dell'esercizio.
Grazie, le posso dare del TU ??
Detto ciò, chiarissimo come dimostrazione. Giusto per la mia curiosità, ci sono altre possibilità per dimostrare che la \(\displaystyle \mathfrak R_1*R_2 \), è una relazione di equivalenza "non perché questa non sia chiara, anzi è chiarissima !!! ".
Ciao
Detto ciò, chiarissimo come dimostrazione. Giusto per la mia curiosità, ci sono altre possibilità per dimostrare che la \(\displaystyle \mathfrak R_1*R_2 \), è una relazione di equivalenza "non perché questa non sia chiara, anzi è chiarissima !!! ".
Ciao
Per quanto già detto \( \displaystyle G_{1} \cup G_{2} = \bigl \{ ( a, b ) \, \big \vert \, a - b \in \mathbb{Z} \lor \exists k \in \mathbb{Z} : a - b = 2k \bigr \} \), quindi:
\[
\displaystyle a \bigl ( \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \bigr ) b \iff a - b \in \mathbb{Z} \lor \exists k \in \mathbb{Z} : a - b = 2k
\]
A questo punto basta verificare che siano verificate le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva: è sufficiente usare le proprietà della somma in \( \displaystyle \mathbb{Z} \).
\[
\displaystyle a \bigl ( \mathfrak{R}_{1} * \mathfrak{R}_{2} \bigr ) b \iff a - b \in \mathbb{Z} \lor \exists k \in \mathbb{Z} : a - b = 2k
\]
A questo punto basta verificare che siano verificate le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva: è sufficiente usare le proprietà della somma in \( \displaystyle \mathbb{Z} \).
Grazie 
Prego.
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