Relazione di equivalenza !!!
Salve a tutti,
ho il seguente esercizio di cui non riesco a risolvere, il quale dice :
Mostrare con un esempio che se \(\displaystyle \mathfrak R_1 \) = (\(\displaystyle S^2 \),\(\displaystyle G_1 \)) e \(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2 \),\(\displaystyle G_2 \)) sono relazioni di equivalenza in un insieme \(\displaystyle S \), la relazione binaria \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2 \),\(\displaystyle G_1 \cup G_2 \)) in \(\displaystyle S \) non è in generale una relazione di equivalenza.
Ho scelto come relazioni di equivalenza \(\displaystyle \mathfrak R_1 \) in \(\displaystyle \mathbb{Q} \) definita ponendo \(\displaystyle x-y \) se e solo se appartiene a \(\displaystyle \mathbb{Z} \)....Fatto
Poi ho scelto, come relazioni di equivalenza \(\displaystyle \mathfrak R_2 \) in \(\displaystyle \mathbb{N} \) definita ponendo \(\displaystyle x=cy \) se e solo se esiste un \(\displaystyle c \) che appartiene a \(\displaystyle \mathbb{N} \)....Fatto
Invece per la parte finale, pensavo (ditemi se è giusto ) di porre una relazione di questo tipo :
\(\displaystyle x-y=x=cy\) implica \(\displaystyle x-x=y(c+1) \), il che ovviamente è falso, pertanto \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) non è una relazione di equivalenza.
Spero di essere stato chiaro. Ciao
ho il seguente esercizio di cui non riesco a risolvere, il quale dice :
Mostrare con un esempio che se \(\displaystyle \mathfrak R_1 \) = (\(\displaystyle S^2 \),\(\displaystyle G_1 \)) e \(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2 \),\(\displaystyle G_2 \)) sono relazioni di equivalenza in un insieme \(\displaystyle S \), la relazione binaria \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) = (\(\displaystyle S^2 \),\(\displaystyle G_1 \cup G_2 \)) in \(\displaystyle S \) non è in generale una relazione di equivalenza.
Ho scelto come relazioni di equivalenza \(\displaystyle \mathfrak R_1 \) in \(\displaystyle \mathbb{Q} \) definita ponendo \(\displaystyle x-y \) se e solo se appartiene a \(\displaystyle \mathbb{Z} \)....Fatto
Poi ho scelto, come relazioni di equivalenza \(\displaystyle \mathfrak R_2 \) in \(\displaystyle \mathbb{N} \) definita ponendo \(\displaystyle x=cy \) se e solo se esiste un \(\displaystyle c \) che appartiene a \(\displaystyle \mathbb{N} \)....Fatto
Invece per la parte finale, pensavo (ditemi se è giusto ) di porre una relazione di questo tipo :
\(\displaystyle x-y=x=cy\) implica \(\displaystyle x-x=y(c+1) \), il che ovviamente è falso, pertanto \(\displaystyle \mathfrak R_1 \)*\(\displaystyle \mathfrak R_2 \) non è una relazione di equivalenza.
Spero di essere stato chiaro. Ciao
Risposte
A prescindere da qualunque considerazione, sia \( \mathfrak{R}_{1} \) che \( \mathfrak{R}_{2} \) sono relazioni di equivalenza sullo stesso insieme \( S \), ergo le tue \( \mathfrak{R}_{1} \) e \( \mathfrak{R}_{2} \) vanno proprio fuori tema.
Innanzitutto grazie per la risposta, ma tralasciando questo errore "non perché non sia grave" e per ipotesi che le due relazioni siano definite entrambe in Q e inoltre siano di equivalenza. La considerazione che ho fatto, va bene per risolvere l'esercizio.
Per come l'hai definita, \( \mathfrak{R}_{2} \) non è di equivalenza, né su \( \mathbb{Q} \) né su \( \mathbb{N} \).
Infatti hai posto \( x \mathfrak{R}_{2} y \) se e solo se esiste \( c \in \mathbb{N} \) tale che \( x = cy \). Ora: \( 6 \mathfrak{R}_{2} 2 \) perché \( 6 = 3 \cdot 2 \) ma non è vero che \( 2 \mathfrak{R}_{2} 6 \) perché non esiste \( c \in \mathbb{N} \) tale che \( 2 = c \cdot 6 \) e ciò vale tanto in \( \mathbb{N} \) quanto in \( \mathbb{Q} \). Cioè non c'è la simmetria.
Inoltre dopo poni \( x - y = x = cy \): non ne comprendo affatto il motivo.
Infatti hai posto \( x \mathfrak{R}_{2} y \) se e solo se esiste \( c \in \mathbb{N} \) tale che \( x = cy \). Ora: \( 6 \mathfrak{R}_{2} 2 \) perché \( 6 = 3 \cdot 2 \) ma non è vero che \( 2 \mathfrak{R}_{2} 6 \) perché non esiste \( c \in \mathbb{N} \) tale che \( 2 = c \cdot 6 \) e ciò vale tanto in \( \mathbb{N} \) quanto in \( \mathbb{Q} \). Cioè non c'è la simmetria.
Inoltre dopo poni \( x - y = x = cy \): non ne comprendo affatto il motivo.
Rifaccio il post cosi non si presentano ambiguità. 
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