Relazione di equival. con rispettive classi e rel. d'ordine
Si consideri la seguente applicazione:
$f: n in N -> { ( n/2 ),( n+3 ):} $, $n/2$ se n è pari, $n+3$ se nè dispari.
i)Definita in $N$ la relazione $a pi b <=> a=b$ oppure $f(a)$ è un divisore proprio di $f(b)$,
spiegare perchè $pi$ è una relazione d'ordine e si stabilisca se esistono e nel caso quali sono rispetto a $pi$, il minimo, il massimo, gli elementi minimali e gli elementi massimali in $N$, e in $inf{5,16}$
ii) Sia $R$ la relazione binaria definita in $X={n in N : n<10}$ ponendo, per ogni $a, b, in X$
$a R b <=> f(a) -=_5 f(b)$.
Spiegare perchè $R$ è una relazione di equivalenza. Descrivere tutte le classi di equivalenza di $X$ rispetto a $R$, elencando per ciascuna classe tutti gli elementi. Quanto sono gli elementi dell insieme quoziente $X/(_R)$?
____________________________
Allora in primis per il punto i)
Ho verificato che la relazione $pi$ soddisfasse le proprietà di riflessività, antisimmetria e transitività.
1)riflessività:
$AA a in N, a pi a => a=a$ oppure $a$ è un divisore proprio di $a$. (vale la prima a=b) ok!
2)antisimmetria:
$AA a,b in N$, $a pi b$ e $b pi a => a=b$ è banalmente verificata per come è definita la relazione.
3)transitività
$AA a, b, c in N$, $a pi b$ e $b pi c => a pi c$
Per il massimo, nn credo esista massimo. per quanto riguarda il minimo io ho pensato così:
$m$ è minimo se, $AA a in N, m R a$, se prendo $m=2$, $f(2)=2/2=1$ 1 divide tutti tranne se stesso. E' giusto?
ed è anche elementi minimale no?
Non riesco a capire come determinare elemento massimale, inoltre qualcuno può spiegarmi come svolgere il punto ii)
Grazie
$f: n in N -> { ( n/2 ),( n+3 ):} $, $n/2$ se n è pari, $n+3$ se nè dispari.
i)Definita in $N$ la relazione $a pi b <=> a=b$ oppure $f(a)$ è un divisore proprio di $f(b)$,
spiegare perchè $pi$ è una relazione d'ordine e si stabilisca se esistono e nel caso quali sono rispetto a $pi$, il minimo, il massimo, gli elementi minimali e gli elementi massimali in $N$, e in $inf{5,16}$
ii) Sia $R$ la relazione binaria definita in $X={n in N : n<10}$ ponendo, per ogni $a, b, in X$
$a R b <=> f(a) -=_5 f(b)$.
Spiegare perchè $R$ è una relazione di equivalenza. Descrivere tutte le classi di equivalenza di $X$ rispetto a $R$, elencando per ciascuna classe tutti gli elementi. Quanto sono gli elementi dell insieme quoziente $X/(_R)$?
____________________________
Allora in primis per il punto i)
Ho verificato che la relazione $pi$ soddisfasse le proprietà di riflessività, antisimmetria e transitività.
1)riflessività:
$AA a in N, a pi a => a=a$ oppure $a$ è un divisore proprio di $a$. (vale la prima a=b) ok!
2)antisimmetria:
$AA a,b in N$, $a pi b$ e $b pi a => a=b$ è banalmente verificata per come è definita la relazione.
3)transitività
$AA a, b, c in N$, $a pi b$ e $b pi c => a pi c$
Per il massimo, nn credo esista massimo. per quanto riguarda il minimo io ho pensato così:
$m$ è minimo se, $AA a in N, m R a$, se prendo $m=2$, $f(2)=2/2=1$ 1 divide tutti tranne se stesso. E' giusto?
ed è anche elementi minimale no?
Non riesco a capire come determinare elemento massimale, inoltre qualcuno può spiegarmi come svolgere il punto ii)
Grazie
Risposte
ii) $f(a) -=_5 f(b) => 5|f(a)-f(b)$ cioè $f(a)-f(b)$ è un multiplo di $5$...
quindi?
Prova a verificare i valori di $f(x)$ per $1<=x<=9$ e poi vedi quali coppie di $X xx X$ soddisfano la relazione indicata.
"GundamRX91":
Prova a verificare i valori di $f(x)$ per $1<=x<=9$ e poi vedi quali coppie di $X xx X$ soddisfano la relazione indicata.
Per ora ho vertificato questo:
$f(0)=0$
$f(1)=4$
$f(2)=1$
$f(3)=6$
$f(4)=2$
$f(5)=8$
$f(6)=3$
$f(7)=10$
$f(8)=4$
$f(9)=12$
Adesso non riesco a capire perchè prendere le coppie in $X x X$, e poi penso abbiamo tante coppie disponibili. Come verifico?
Ad esempio $6 -= 1 (mod. 5)$ oppure $8 -= 3 (mod. 5)$
Infatti, e quelle sono le coppie in $X xx X$ che soddisfano la relazione, mica tutte.
A questo punto dovresti essere in grado di definire le classi di equivalenza e indicarle precisamente.
A questo punto dovresti essere in grado di definire le classi di equivalenza e indicarle precisamente.
riguardo al punto i) come svolgo l'esercizio?
Prova a vedere se effettivamente è una relazione d'ordine... Dai che la teoria la conosci, ho visto che l'hai fatto altre volte 
In questo caso ho problemi a trovare minimi , massimi, minimali , massimali e verificare se è un reticolo
up
Gaten se il problema è il punto 1 prova a scrivere l'insieme definito dalla relazione $\pi$ e poi proviamo a valutare la relativa relazione d'ordine.
GundamRX91, riguardo al punto relativo alle classi di equivalenza, come determino le classi di equivalenza?
Feci l'esempio che:
$6 -= 1 (mod. 5)$ oppure $8 -= 3 (mod. 5)$ adesso come le scrivo le classi?
Dai valori che ho ricavato tramie $f$ , ho verificato che $5|6-1$, $5|8-3$ e basta. Adesso come scrivo le classi?
Feci l'esempio che:
$6 -= 1 (mod. 5)$ oppure $8 -= 3 (mod. 5)$ adesso come le scrivo le classi?
Dai valori che ho ricavato tramie $f$ , ho verificato che $5|6-1$, $5|8-3$ e basta. Adesso come scrivo le classi?
Va bene se scrivo:
$[2]={2, 3}$
$[6]={6, 5}$
$X_/pi={ [2]; [6] }$
$[2]={2, 3}$
$[6]={6, 5}$
$X_/pi={ [2]; [6] }$
"gaten":
GundamRX91, riguardo al punto relativo alle classi di equivalenza, come determino le classi di equivalenza?
Feci l'esempio che:
$6 -= 1 (mod. 5)$ oppure $8 -= 3 (mod. 5)$ adesso come le scrivo le classi?
Dai valori che ho ricavato tramie $f$ , ho verificato che $5|6-1$, $5|8-3$ e basta. Adesso come scrivo le classi?
In effetti sono arrivato alla stessa conclusione, ma non ho capito come sono definite le classi di equivalenza, dato che non mi sembra una relazione di equivalenza
Speriamo intervenga qualcun'altro
Scusami come fai a dire che non è una relazione i equivalenza? Basta andare a verificare le proprietà di riflessività, simmetria e transitività.
Non so, stamane stavo verificando la relazione $R$ sull'insieme $X={n in NN | n < 10}$,
dove le uniche coppie di naturali che soddisfano la relazione sono ${(1,6),(3,8)}$.
Se la relazione è di equivalenza, $AAx in X$ si ha che $xRx$, ossia $f(x) -=_5 f(x)$, ma
quali sono le coppie di naturali nella forma $(n,n)$ che appartergono alla relazione?
Non riesco a "vederlo"....
dove le uniche coppie di naturali che soddisfano la relazione sono ${(1,6),(3,8)}$.
Se la relazione è di equivalenza, $AAx in X$ si ha che $xRx$, ossia $f(x) -=_5 f(x)$, ma
quali sono le coppie di naturali nella forma $(n,n)$ che appartergono alla relazione?
Non riesco a "vederlo"....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo