Relazione di divisibilità
Vorrei un chiarimento sulla relazione di divisibilità: $x rho y <=> x | y$ ("x divide y"). Se io la enunciassi in questo modo la relazione non sarebbe d'ordine perché non sarebbe riflessiva ($0$ non divide alcun numero, in particolare non divide sé stesso), quindi spesso la si scrive così: $EE k in NN : y = kx$, dove $k$ è il divisore e $x$ è il quoziente.
Quest'ultima formulazione mi sembra equivalente alla prima, se non fosse per il fatto che quest'ultima è una relazione d'ordine (perché $0 = k*0$ $AA k in NN$, e quindi "0 dividerebbe sé stesso"[nota]e sarebbe diviso da ogni altro numero naturale[/nota]), mentre la prima no. Sto dicendo questa cosa solo perché voglio dire che $x rho y <=>$ $x$ divide $y$; lo 0 rispetta $y=kx$ e quindi dico che "0 divide sé stesso". In realtà so benissimo che $0/0$ non ha significato, e mi sembra che questa definizione di divisibilità[nota]x divide y se e solo se esiste $k in NN$ tale che $y=kx$[/nota] sia solo un modo furbo per rendere questa una relazione d'ordine, però dà luogo a frasi senza senso come "0 divide sé stesso".
Quest'ultima formulazione mi sembra equivalente alla prima, se non fosse per il fatto che quest'ultima è una relazione d'ordine (perché $0 = k*0$ $AA k in NN$, e quindi "0 dividerebbe sé stesso"[nota]e sarebbe diviso da ogni altro numero naturale[/nota]), mentre la prima no. Sto dicendo questa cosa solo perché voglio dire che $x rho y <=>$ $x$ divide $y$; lo 0 rispetta $y=kx$ e quindi dico che "0 divide sé stesso". In realtà so benissimo che $0/0$ non ha significato, e mi sembra che questa definizione di divisibilità[nota]x divide y se e solo se esiste $k in NN$ tale che $y=kx$[/nota] sia solo un modo furbo per rendere questa una relazione d'ordine, però dà luogo a frasi senza senso come "0 divide sé stesso".
Risposte
Ma... qual è la definizione di "divide" se non quella che hai scritto dopo? E 0 divide certamente sé stesso: \(0 = 1\cdot 0\).
Intuitivamente se io scrivo $x$ divide $y$ penso che si abbia una cosa di questo genere: $y/x = k$, con $k in ZZ$ (ora mi sto limitando a $k in NN$ ma in fondo potrebbe benissimo essere anche intero negativo).
Cioè la tua definizione di "divide" è "se opero la divisione dell'uno per l'altro, il risultato è intero"? Questo è sbagliato; la definizione giusta è l'altra.
A me pare la solita apparente ambiguità generata dalla mancata dichiarazione "a monte" del dominio delle variabili considerate... se poi per svolgere una qualche operazione devi ulteriormente restringere il campo, puoi escludere quei casi critici mentre operi e poi valutarli a parte usando strumenti diversi (o anche assegnarli tramite definizione -scrivendola in chiaro e spiegando poi il perché lo hai fatto). Qui non sto pensando necessariamente alle operazioni classiche, mettiamola così (per esempio, nel campo degli iperoperatori a volte la coperta risulta troppo corta, come nel caso della zerazione e può esserci disaccordo su quali proprietà tenere e quali dover cedere).
Il dubbio originato dall'interpretazione di cosa fa la divisione mi sembra sia già stato chiarito nei commenti sopra.
Il dubbio originato dall'interpretazione di cosa fa la divisione mi sembra sia già stato chiarito nei commenti sopra.
Il problema è che uno studente universitario (di facoltà STEM? di Matematica -peggio ancora-?) abbia come definizione di "divisibilità" qualcosa che assomiglia fin troppo a quella ingenua che potrebbe dare un ragazzino uscito dalle medie senza passare dalle superiori.
Questi argomenti si dovrebbero rivedere il primo anno delle superiori in modo già sufficientemente formale da evitare certe cantonate (o fesserie, che dir le si voglia) al livello d'istruzione superiore.
Se, poi, al livello puramente formale si aggiungesse qualche spunto sul come/perché storicamente si è arrivati a formulare la definizione in un certo modo, piuttosto che in un altro, sarebbe anche meglio.
Questi argomenti si dovrebbero rivedere il primo anno delle superiori in modo già sufficientemente formale da evitare certe cantonate (o fesserie, che dir le si voglia) al livello d'istruzione superiore.
Se, poi, al livello puramente formale si aggiungesse qualche spunto sul come/perché storicamente si è arrivati a formulare la definizione in un certo modo, piuttosto che in un altro, sarebbe anche meglio.
In fondo $x|y <=> y/x=k$, con $k$ intero, è equivalente a $x|y <=> EE k in ZZ$ tale che $y=kx$, se non fosse per il fatto che per la prima non si possa parlare di divisibilità dello 0, mentre per la seconda lo 0 sarebbe divisibile per sé stesso. Oltre questo non mi sembra ci sia troppa differenza, anzi, nessuna.
HowardRoark, il fatto è che la prima formulazione che hai scritto è proprio sbagliata perché presuppone l'esistenza di una operazione di "divisione" che (in contesti non meno generali) non necessariamente esiste. Per dire che un elemento divide un altro elemento non hai bisogno dell'operazione di divisione. A te forse le due formulazioni sembrano quasi equivalenti, ma come hai visto qui c'è la forte ambiguità dello zero. Poi per esempio in algebra astratta la tua prima formulazione non ha alcun senso, pensa agli anelli $ZZ//nZZ$ (interi modulo $n$). Qui scrivere $y/x$ non ha senso non solo per $x=0$, ma per tutte le classi non coprime con $n$.
In sintesi, la seconda formulazione è quella corretta. La prima puoi pure dimenticartela.
In sintesi, la seconda formulazione è quella corretta. La prima puoi pure dimenticartela.
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