Relazione d'equivalenza sull'insieme X: esercizio impossibil

[unit1]

Salve,

Vi posto prima l'esercizio e poi vi posto il mio tentativo di volgerlo:

Sia $R$ una relazione d'equivalenza sull'insieme $X$ e siano $a, b in X$ tali che $aRb$.
Sia inoltre $K$ un insieme di rappresentanti per $R$. Possiamo affermare con certezza che:

1- [$a$] $nn$ [$b$]= [$a$] (Si/No)
2- Se $c in X$ e c/Rb (la / sta sulla R, non c'è relazione) allora a/Rb (Si/No)
3- Se $A in K$ allora $B notin K$ (Si/No)

Mio tentativo:

1- Che vuol dire le parentesi? Sul libro sta scritto per $[a] in Z_16$ per esempio, ma non saprei come metterlo nei gruppi
2- Si, per la proprietà transitiva se $x in a =>x in b$
3- Che cosa è un un insieme di rappresentanti per $R$?

Grazie in anticipo per l'aiuto.

[Lord K]

1- La parentesi vuole dire la classe a cui appartiene [tex]a[/tex], da cui [tex]a \in [a][/tex], ma anche [tex]b \in [a][/tex] visto che [tex]aRb[/tex], allora naturalmente [tex][a]= \Rightarrow [a]\cap =[a][/tex]

2- Qui la notazione che usi non la capisco molto... provo a riscrivere: [tex]c \in X, \neg (cRb) \Rightarrow \neg (cRb)[/tex] questo equivale a dire che [tex][c] \neq [a]=[/tex]. (Forse tu hai trascritto diversamente)

3-Cosa sono [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]???

un insieme di rappresentanti per [tex]R[/tex] è l'insieme dei rappresentanti che descrivono completamente le sue classi. Ti faccio un esempio, supponiamo [tex]xRy \Leftrightarrow x-y \text{ è pari}[/tex], le due classi che sono possibili sono [tex][0],[1][/tex] ovvero la classe che rappresenta i pari e quella che rappresenta i dispari.

[unit1]

1-si, capito il ragionamento

2-si, è come dici tu.

3-le a e b sono minuscole, non mi sono accorto di averle fatte maiuscole. Scusami

La risposta è NO, visto che ci sono due insiemi di rappresentanti ma non sappiamo se sono uguali o no. Giusto?

[klarence1]

"unit1":

La risposta è NO, visto che ci sono due insiemi di rappresentanti ma non sappiamo se sono uguali o no. Giusto?

Un insieme di rappresentanti $R'$ è tale che per ogni classe $K$ si ha che $|R'nnK|=1$
Ora se $[a]==K$ e $a$ appartiene a $R'$ (cioè $a$ appartiene al nostro insieme di rappresentanti) sicuramente $b$ non può appartenere perchè se $b$ appartenesse a $R'$ si avrebbe che $|R'nnK|=2$, che è un assurdo per come è definito l'insieme $R'$.