Relazione d'equivalenza
Mi fate vedere come si svolge questo esercizio?
nell'insieme R è definita la seguente relazione
xRy se e solo se esiste h appartenente a Z* tale che y=hx
verificare se tale relazione è d'equivalenza.
ps:mi interessa vedere tutte e tre le proprietà anche se non verificate.. grazie..
nell'insieme R è definita la seguente relazione
xRy se e solo se esiste h appartenente a Z* tale che y=hx
verificare se tale relazione è d'equivalenza.
ps:mi interessa vedere tutte e tre le proprietà anche se non verificate.. grazie..
Risposte
Riflessività: l'$h$ che cerchi è $1$ ($x=1\cdot x$ per ogni $x$ reale)
Simmetria: Supponiamo che $xRy$ ovvero esiste $h\in \mathbb{Z}^*$ tale che $y=hx$. Se esistesse $k\in \mathbb{Z}^*$ tale che $x=ky$ si avrebbe $y=khy$ cioè $hk=1$, dunque necessariamente $h=k=1$ oppure $h=k=-1$. Non si ha la simmetria per cui questa non è una relazione di equivalenza. (sarebbe bastato anche solo un controesempio: $2R6$ perchè $6=2\cdot 3$ cioè $h=3$, ma non c'è nessuno intero $k$ per cui $3=6k$)
Transitività: Supponiamo $xRy, yRz$ ovvero $y=hx, z=ky$. Dunque $z=hkx$, che significa $xRz$.
Paola
Simmetria: Supponiamo che $xRy$ ovvero esiste $h\in \mathbb{Z}^*$ tale che $y=hx$. Se esistesse $k\in \mathbb{Z}^*$ tale che $x=ky$ si avrebbe $y=khy$ cioè $hk=1$, dunque necessariamente $h=k=1$ oppure $h=k=-1$. Non si ha la simmetria per cui questa non è una relazione di equivalenza. (sarebbe bastato anche solo un controesempio: $2R6$ perchè $6=2\cdot 3$ cioè $h=3$, ma non c'è nessuno intero $k$ per cui $3=6k$)
Transitività: Supponiamo $xRy, yRz$ ovvero $y=hx, z=ky$. Dunque $z=hkx$, che significa $xRz$.
Paola
grazie mille =)
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