Relazione d'equivalenza
Buongiorno a tutti.
Non mi è chiaro quanto affermato su un testo in particolare:
Ho una relazione binaria $R$ su $NN$ e devo stabilire se è d'equivalenza.
La relazione è:$R=\{ (x,y) in NN xx NN:\ x" e "y" sono entrambi pari"\}$.
C'è scritto che non è d'equivalenza perchè non è riflessiva.
Ma perchè?
Non mi è chiaro quanto affermato su un testo in particolare:
Ho una relazione binaria $R$ su $NN$ e devo stabilire se è d'equivalenza.
La relazione è:$R=\{ (x,y) in NN xx NN:\ x" e "y" sono entrambi pari"\}$.
C'è scritto che non è d'equivalenza perchè non è riflessiva.
Ma perchè?
Risposte
Dato un insieme $A$, una relazione di equivalenza $R$ per essere tale deve rispettare le seguenti proprietà:
1) Riflessiva $aRa$ $AAa in A$
2) Simmetrica $aRb => bRa$ $AAa,b in A$
3) Transitiva $aRb ^^ bRc => aRc$ $AAa,b,c in A$
Domanda: la coppia ordinata $(3,3) in R$ ??
1) Riflessiva $aRa$ $AAa in A$
2) Simmetrica $aRb => bRa$ $AAa,b in A$
3) Transitiva $aRb ^^ bRc => aRc$ $AAa,b,c in A$
Domanda: la coppia ordinata $(3,3) in R$ ??
Ok capito,in effetti era piuttosto semplice.
Veniamo invece a questa:
Sia $R$ la relazione su $NN*xNN*$ definita da $(a,b)R(c,d) hArr ad=bc$
Dimostrare che è d'equivalenza.
Veniamo invece a questa:
Sia $R$ la relazione su $NN*xNN*$ definita da $(a,b)R(c,d) hArr ad=bc$
Dimostrare che è d'equivalenza.
Io direi che potresti sforzarti di scrivere qualche tua personale considerazione sull'esercizio.
Io ho provato che è riflessiva infatti $(a,b)R(a,b)$ ovvero $ab=ba$
Ho provato che è simmetrica infatti $(a,b)R(c,d) rarr (c,d)R(a,b)$ giusto?
ovvero $ad=bc rarr cb=da$
ho problemi per quanto riguarda la transitività,sempre se le altre due proprietà sono corrette...
Ho provato che è simmetrica infatti $(a,b)R(c,d) rarr (c,d)R(a,b)$ giusto?
ovvero $ad=bc rarr cb=da$
ho problemi per quanto riguarda la transitività,sempre se le altre due proprietà sono corrette...
Da $(a,b) R (h,k)$ e $(h, k ) R (v , z )$ riesci a dedurre $(a,b) R (v , z )$ ?
Le altre sono corrette.
Le altre sono corrette.
E' proprio questo il problema!
Io ho fatto questo ragionamento....
$(a,b)R(c,d)^^(c,d)R(p,q) => (a,b)R(p,q) <=> ad=bc ^^ cq=dp => aq=bp$
che e' vera solo se entrambi i membri $ad=bc$ e $cq=dp$ sono veri, quindi li moltiplico membro a membro e ottengo
$ad=bc$
$cq=dp$
$adcq=bcdp$ ovvero $aqdc=bpdc$ da cui, semplificando, si ottiene $aq=bp$
$(a,b)R(c,d)^^(c,d)R(p,q) => (a,b)R(p,q) <=> ad=bc ^^ cq=dp => aq=bp$
che e' vera solo se entrambi i membri $ad=bc$ e $cq=dp$ sono veri, quindi li moltiplico membro a membro e ottengo
$ad=bc$
$cq=dp$
$adcq=bcdp$ ovvero $aqdc=bpdc$ da cui, semplificando, si ottiene $aq=bp$
Supponiamo sia $(a,b)R(c,d)$ e $(c,d)R(e,f)$. Allora vale che $ad=bc$ e $cf=de$; supponiamo che $d,f \ne 0$; allora moltiplicando per $f$ nella prima uguaglianza otteniamo
$adf = bcf \Rightarrow adf = bde \Rightarrow af =be \Rightarrow (a,b)R(e,f)$
Concludiamo con il caso particolare: se $d=f=0$ allora vale che $bc=0 \iff b=0 \vee c=0$. Dunque anche in tal caso le coppie $(a,b)$ e $(e,f)$ sono in relazione.
$adf = bcf \Rightarrow adf = bde \Rightarrow af =be \Rightarrow (a,b)R(e,f)$
Concludiamo con il caso particolare: se $d=f=0$ allora vale che $bc=0 \iff b=0 \vee c=0$. Dunque anche in tal caso le coppie $(a,b)$ e $(e,f)$ sono in relazione.
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