Regole di calcolo in gruppo.

[compa90]

Buongiorno vorrei provare questa regola di calcola valida in un generico gruppo $G$, cioè siano $a,b \in G$ e $m,n \in \mathbb{Z}$, si ha che

i) $(m+n)a=ma+na$
ii) $n(a+b)=na+nb$

Provo la 1) per induzione su $n$
$n=0$, e $m \in mathbb{Z}$ risulta $(m+n)a=(m+0)a=ma=ma+0=ma+0a=ma+na$, quindi l'asserto è vero.

$n>0, m \in \mathbb{Z}$, per ipotesi induttiva $(n-1)a+ma=((n-1)+m)a$. Si ha allora
$na+ma=^1(n-1)a+a+ma$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \=^2(n-1)a+ma+a$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \=^3((n-1)+m)a+a$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \=^4(p-1)a+a$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \=^5pa$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \=^6(n+m)a$

$1$ Definizione di multiplo di $a$ secondo un intero positivo
$2$ Associatività
$3$ Ipotesi induttiva
$4$ Posizione $p-1:=(n-1)+m$
$5$ Definizione di multiplo di $a$ secondo un intero positivo
$6$ Definizione di differenza


$n<0, m \in \mathbb{Z}$, si ha allora
$na+ma=^1(-n)(-a)+ma$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^2(-n)(-a)-m(-a)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^3(-n+(-m))(-a)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^4(-(n+m))(-a)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^5(n+m)a$

$1$ Definizione di multiplo di $a$ secondo un intero negativo
$2$ $ma=-m(-a)$.
$3$ Caso precedente
$4$ Regole di calcolo in $ZZ$
$5$ Definizione di multiplo di $a$ secondo un intero negativo

-----------------------------------------------------------------------------------------------
Provo la 2) per induzione su $n$
$n=0$ si ha allora $n(a+b)=0(a+b)=0=0a+0b=na+nb$, quindi l'asserto è vero.

$n>0$ si assume per induzione che $n(a+b)=na+nb$. Si ha allora
$(n+1)(a+b)=^1((n+1)-1)(a+b)+(a+b)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^2n(a+b)+(a+b)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^3na+nb+(a+b)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^4na+a+nb+b$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^5(n+1)a+(n+1)b$

$1$ Definizione di multiplo di $a$ secondo un intero positivo
$2$ Associatività
$3$ Ipotesi induttiva
$4$ Associatività
$5$ Caso precedente positivo

$n<0$. Si ha allora
$n(a+b)=^1(-n)(-(a+b))$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ \ =^2(-n)(-a-b)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ \ =^3(-n)(-a)+(-n)(-b)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ \ =^4na+nb$

$1$ Definizione di multiplo di $a+b$ secondo un intero negativo
$2$ Definizione di opposto di $a+b$
$3$ Caso precedente
$4$ Definizione di multiplo di $a,b $ secondo un intero negativo

Va bene ?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"compa90":Buongiorno vorrei provare questa regola di calcola valida in un generico gruppo $G$, cioè siano $a,b \in G$ e $m,n \in \mathbb{Z}$, si ha che

i) $(m+n)a=ma+na$
ii) $n(a+b)=na+nb$

Va bene ?

Cosa dovrebbe significare $ng$ per $n \in \mathbb{Z}$ e $g \in G$ ?

[compa90]

Buonasera.
Il multiplo di $g$ secondo l’intero $n$.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sì, questo lo avevo dedotto, ma cosa vorrebbe dire ? Qual è la definizione di "multiplo di $g$ secondo l'intero $n$" ?

[megas_archon]

Forse ti sei dimenticato di specificare che G è abeliano?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sì o specificare che usa la notazione additiva, comunque sia utilizzerei due simboli diversi per denotare l'operazione su $G$ e quella su $\mathbb{Z}$.

E anche se spesso per i gruppi abeliani si denota $na=\underbrace{a + \ldots+ a}_{n-\text{volte}} $, di notazione si tratta e puoi utilizzare tranquillamente la notazione moltiplicativa, i.e. $a^{n+m}$ e $(ab)^{n}$ e adesso diventa imho piuttosto chiaro, non trovi?

Comunque sia per i) puoi fare un induzione forte su $k$ dove $k=n+m \in \mathbb{Z}$ e dividere i casi in cui $k \geq 0$ e $k\leq 0$. Secondo me è più diretto e non hai bisogno della commutatività (che hai usato), ma anche come hai fatto tu dovrebbe andar bene (assumendo il gruppo abeliano).
Per ii) ti faccio notare che è vero se e solo se $G$ è abeliano. Nel caso in cui $G$ è abeliano allora per ogni $a,b \in G$ e $n \geq 0$ è immediato dimostrare che $(ab)^n=a^n b^n$. Per l'altra direzione, prendi $n=2$ e puoi dedurre che $ab=ba$ per ogni $a,b$.

[compa90]

Buonasera.

@3m0o la definizione di multiplo è quella che ho riportato nella dimostrazione e distinguo multiplo di un elemento $x \in G$ secondoché l’intero sia positivo o negativo, come vedi nei commenti segnati dai numeri $1$.Si la notazione del gruppo è quella moltiplicativa.

@megas_archon La commutatività dove l’ho usata?

[megas_archon]

Te l'hanno detto, ii è vero se e solo se G è abeliano.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"compa90":
@3m0o la definizione di multiplo è quella che ho riportato nella dimostrazione e distinguo multiplo di un elemento $ x \in G $ secondoché l’intero sia positivo o negativo, come vedi nei commenti segnati dai numeri $ 1 $.Si la notazione del gruppo è quella moltiplicativa.

Semmai hai usato la notazione additiva per entrambi. Ma non è questo il punto, questo va anche bene, il problema è che hai usato lo stesso simbolo per significare due operazioni differenti, togli questa brutta abitudine perché crea confusione a te e agli altri. Chiama uno $\star$ e l'altro $+$, o usa lo scarabocchio che più preferisci.

"compa90":
@megas_archon La commutatività dove l’ho usata?

Beh ad esempio:

"compa90":
Provo la 1) per induzione su $n$
[...]
$n>0, m \in \mathbb{Z}$, per ipotesi induttiva $(n-1)a+ma=((n-1)+m)a$. Si ha allora
$na+ma=^1(n-1)a+a+ma$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \=^2(n-1)a+ma+a$
[...]

Qui hai usato la commutatività ed è meglio non farlo perché i) è vero anche in un contesto non abeliano.

"compa90":
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Provo la 2) per induzione su $n$
[...]

$n>0$ si assume per induzione che $n(a+b)=na+nb$. Si ha allora
$(n+1)(a+b)=[...]$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^3na+nb+(a+b)$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ \ =^4na+a+nb+b$

Qui scrivi associatività ma quello che stai facendo anche è permutare $nb +a = a+nb$.

[compa90]

Sono un po' stonato ... la notazione è additiva. C'è una sola operazione interna al gruppo che è quella additiva $+$, perché dici che ci sono due operazioni ?

Comunque, ho provato ad non utilizzare la commutatività.
Provo la 1) per induzione su $n$
$ n=0 $, e $ m \in mathbb{Z} $, risulta $ (m+n)a=(m+0)a=ma=ma+0=ma+0a=ma+na $, quindi l'asserto è vero.

Siano $n, m \in ZZ$ dove $n>0$. Per ipotesi induttiva si ha $(m+n)a=ma+na$, dunque, sarà vera anche nel caso particolare $m=1$, e $n>0$, cioè $(n+1)a=na+a$. Si ha allora
$(m+(n+1))a=^1((m+(n+1))-1)a+a$
$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \ \ \ \=^2((m+(n+1-1))a+a $
$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \ \ \ \=^3(m+n)a+a $
$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \ \ \ \=^4ma+na+a $
$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \ \ \ \=^5ma+(n+1)a $

1 Definizione di multiplo di $a$ secondo un intero positivo
2 Associatività dell'addizione fra interi
3 $-1$ opposto di $1$
4 Ipotesi induttiva
5 Ipotesi induttiva nel caso $m=1$ , $n>0$

Va bene ?
Il caso negativo lascia invariato poiché è conseguenza del caso positivo.
Vorrei utilizzare questa strategia perché il testo la utilizza per l'analoga con la notazione moltiplicativa.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"compa90":Sono un po' stonato ... la notazione è additiva. C'è una sola operazione interna al gruppo che è quella additiva $+$, perché dici che ci sono due operazioni ?

Ti rendi conto vero che hai due gruppi: $(G,\star)$ e $(\mathbb{Z},+)$...?? Il gruppo $G$ non è necessariamente uguale a $\mathbb{Z}$ e allora perché mai l'operazione $\star$ dovrebbe essere uguale a $+$?

Edit: ma anche nel qual caso che fossero uguali come insiemi $G$ e $\mathbb{Z}$ potresti avere delle operazioni binarie differenti rendendoli differenti come gruppi.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"compa90":
Comunque, ho provato ad non utilizzare la commutatività.
Provo la 1) per induzione su $n$
$ n=0 $, e $ m \in mathbb{Z} $, risulta $ (m+n)a=(m+0)a=ma=ma+0=ma+0a=ma+na $, quindi l'asserto è vero.

Siano $n, m \in ZZ$ dove $n>0$. Per ipotesi induttiva si ha $(m+n)a=ma+na$, dunque, sarà vera anche nel caso particolare $m=1$, e $n>0$, cioè $(n+1)a=na+a$. Si ha allora
$(m+(n+1))a=^1((m+(n+1))-1)a+a$
$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \ \ \ \=^2((m+(n+1-1))a+a $
$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \ \ \ \=^3(m+n)a+a $
$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \ \ \ \=^4ma+na+a $
$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad \ \ \ \=^5ma+(n+1)a $

1 Definizione di multiplo di $a$ secondo un intero positivo
2 Associatività dell'addizione fra interi
3 $-1$ opposto di $1$
4 Ipotesi induttiva
5 Ipotesi induttiva nel caso $m=1$ , $n>0$

Va bene ?

Una cosa alla volta, prima di dirti se va bene o no, scriviamo le cose con il giusto formalismo e capiamo cosa stiamo cercando di fare qui, okay?

Edit: una volta che ti sei convinto del seguente fatto:

"3m0o":
Ti rendi conto vero che hai due gruppi: $(G,\star)$ e $(\mathbb{Z},+)$...?? Il gruppo $G$ non è necessariamente uguale a $\mathbb{Z}$ e allora perché mai l'operazione $\star$ dovrebbe essere uguale a $+$?

Edit: ma anche nel qual caso che fossero uguali come insiemi $G$ e $\mathbb{Z}$ potresti avere delle operazioni binarie differenti rendendoli differenti come gruppi.

Definisci correttamente cosa vuol dire $ng$ per $n \in (\mathbb{Z},+)$ e $g \in (G,\star)$. Dopodiché fai lo statement di ciò che vuoi dimostrare con le giuste operazioni. Ovvero traduci questa roba qui

"compa90":Buongiorno vorrei provare questa regola di calcola valida in un generico gruppo $G$, cioè siano $a,b \in G$ e $m,n \in \mathbb{Z}$, si ha che

i) $(m+n)a=ma+na$
ii) $n(a+b)=na+nb$

[compa90]

Certo!! Sono due gruppi differenti. Infatti, nel caso in cui si assume $G(+)$ gruppo abeliano, allora necessariamente esso sarà differente da $ZZ(\cdot)$.

Se io ho un gruppo $G(+)$, si definisce multiplo di un suo elemento $x$, e si indica con $nx$, come $nx=(n-1)x+x$, con $n \in ZZ$ positivo, e la interpreto in questo modo: Il multiplo di $x$ è definito come la somma tra il multiplo del suo precedente e l'elemento stesso.

La seconda operazione di cui stai parlando non può essere interna perché non avremmo un gruppo, quindi, la seconda operazione deve essere esterna ? Tipo come la sottrazione tra i naturali??

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"compa90":Certo!! Sono due gruppi differenti. Infatti, nel caso in cui si assume $G(+)$ gruppo abeliano, allora necessariamente esso sarà differente da $ZZ(\cdot)$.

Se io ho un gruppo $G(+)$, si definisce multiplo di un suo elemento $x$, e si indica con $nx$, come $nx=(n-1)x+x$, con $n \in ZZ$ positivo, e la interpreto in questo modo: Il multiplo di $x$ è definito come la somma tra il multiplo del suo precedente e l'elemento stesso.

La seconda operazione di cui stai parlando non può essere interna perché non avremmo un gruppo, quindi, la seconda operazione deve essere esterna ? Tipo come la sottrazione tra i naturali??

Huh ?

Andiamo con ordine. Di solito per denotare un gruppo si scrive $(\mathbb{Z},+)$ per indicare l'insieme e la sua operazione e non $\mathbb{Z}(+)$. Ora, a meno che tu non lo richieda specificatamente, cosa che non mi sembra, non è vero che se $G$ è abeliano è necessariamente diverso da $\mathbb{Z}$ ma potrebbe esserlo.

Poi, perché chiamare la somma sugli interi come il prodotto sugli interi? E' una pessima scelta è forse la prima operazione che impariamo da bambini la somma sugli interi: chiamala $+$ cribbio! Non che tu non abbia la libertà di chiamarla in altro modo, però è una scelta parecchio bizzarra.

$(G,\star)$ è un gruppo e l'operazione interna è $\star : G \times G \to G$, quindi posso scrivere $g \star h$ per elementi $g,h \in G$ e $g \star h \in G$. Allo stesso modo $(\mathbb{Z},+)$ è un gruppo e per $n,m \in \mathbb{Z}$ posso scrivere $n+m \in \mathbb{Z}$.

"compa90":
Se io ho un gruppo $G(+)$, si definisce multiplo di un suo elemento $x$, e si indica con $nx$, come $nx=(n-1)x+x$, con $n \in ZZ$ positivo, e la interpreto in questo modo: Il multiplo di $x$ è definito come la somma tra il multiplo del suo precedente e l'elemento stesso.

E' una scelta parecchio strana chiamare $ng$ multiplo. Noo... non chiamarlo multiplo, $g$ non è un multiplo di $n$ ed $n$ non è un multiplo di $g$.

Anche se la tua definizione rappresenta l'idea corretta, c'è un problema con $0$. Perché non so cosa voglia dire $(-1)x$ siccome non lo hai definito. Non è meglio dire che per $n \geq 0$ e $g \in G$ abbiamo che
\[ n g = \underbrace{g \star g \star \ldots \star g}_{n-\text{volte}} \]
e per $n <0$

\[ ng = \underbrace{(-g) \star (-g) \star \ldots \star (-g) }_{n - \text{volte}} \]
dove $-g$ è l'inverso di $g$, i.e. $g \star (-g) = e_G \in G$.

Il fatto che tu voglia usare la notazione additiva (e non moltiplicativa) non vuol dire che devi chiamare l'operazione di $G$ con il simbolo $+$, l'operazione è sempre la stessa, semplicemente questa cosa che hai definito invece di denotarla $g^n$ la scrivi $ng$ e l'inverso invece di scriverlo $g^{-1}$ lo scrivi $-g$, ma sono la stessa cosa, è solo una scelta di come scriverli. Quindi uno che scriverà in notazione moltiplicativa dirà che $g^n = \underbrace{g \star g \star \ldots \star g}_{n-\text{volte}}$ che è lo stesso identico oggetto di $ng$ (soltanto che è indicato in modo diverso, e bisogna essere coerenti nel modo in cui decidiamo di scriverlo)

"compa90":
La seconda operazione di cui stai parlando non può essere interna perché non avremmo un gruppo, quindi, la seconda operazione deve essere esterna ? Tipo come la sottrazione tra i naturali??

A cosa ti riferisci? Una è l'operazione di $G$ interna a $G$ che ho indicato con $ \star$, l'altra è l'operazione di $\mathbb{Z}$ interna a $\mathbb{Z}$ che ho indicato con $+$. Operazioni esterne, non è un termine che ho visto molto spesso, se ti riferisci a $ng$ - personalmente non la vedo come un' operazione ma più come un modo per indicare in modo compatto un elemento di $G$ - però sì, $\mathbb{Z} \times G \to G$.

[compa90]

Non ho riportato la definizione multiplo di un elemento $x$ del gruppo $G(+)$ nei casi $n=0$, e $n<0$ volutamente, perché volevo discutere l'esercizio i) caso positivo, poiché il caso negativo è una sua conseguenza, tuttavia si hanno le seguenti definizione $0_ZZx=0_G$, $nx=(-n)(-x)$.