Regola di Cramer su sistemi lineari in Z7

[materiale1]

cia a tutti
volevo chiedere se qualcuno mi sa spiegare come si risolve un sistema con Cramer in Z7


2x 4y =3
6x y =5
5x 3z=1

[Lord K]

Si fa come sempre, la matrice sarà in $ZZ_7$:

partiamo con quella dei coefficienti:

$A=((2,4,0),(6,1,0),(5,0,3)) Rightarrow detA = -66 \equiv -3 \equiv 4 (7)$

$B_x= ((3,4,0),(5,1,0),(1,0,3)) Rightarrow detB_x = -54 \equiv -5 \equiv 2 (7)$
$B_y= ((2,3,0),(6,5,0),(5,1,3)) Rightarrow detB_y = -24 \equiv -3 \equiv 4 (7)$
$B_z= ((2,4,3),(6,1,5),(5,0,1)) Rightarrow detB_z = 63 \equiv 0 (7)$

Da cui:

$x=(detB_x)*(detA)^(-1) = 2*(4)^(-1) \equiv 2*2 \equiv 4 (7)$
$y=(detB_y)*(detA)^(-1) = 4*(4)^(-1) \equiv 4*2 \equiv 1 (7)$
$z=(detB_z)*(detA)^(-1) = 0*(4)^(-1) \equiv 0 (7)$

P.S. Ora prova a guardare anche il seguente link per scriverci le tue domande in maniera migliore https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html Grazie mille.

[kind85]

"Lord K":
$B_x= ((3,4,0),(5,1,0),(1,0,3)) Rightarrow detB_x = -54 \equiv -5 \equiv 2 (7)$

dai miei calcoli risulta:
$B_x= ((3,4,0),(5,1,0),(1,0,3)) Rightarrow detB_x = -51 \equiv -2 \equiv 5 (7)$

una domanda: perchè $(4)^(-1)=2$?

[Lord K]

Perchè:

$4*2 \equiv 8 \equiv 1(7)$

[kind85]

scusami ma ancora non ho capito: $4^(-1)$ sarebbe, almeno in R, $1/4$. da quì come faccio ad arrivare a 2?

[Lord K]

Allora, qui $4^(-1)$ non è niente altro che l'inverso moltiplicativo di $4$ (o meglio della classe resto di cui $4$ è il rappresentante) in $ZZ_7$. Lo si può calcolare con il teorema di Bezout o se preferisci chiamarlo metodo di Euclide Esteso, ovvero:

Siccome $gcd(4,7)=1$ allora esistono due costanti intere $a,b in ZZ$ tali che:

$4a+7b=1$

Le trovi con l'algoritmo di Euclide:

$7=4*1+3$
$4=3*1+1$
$3=1*3$

Ripercorrendo i conti all'indietro:

$4-3*1=1$
$4-(7-4*1)=1$
$4*2-7=1$

In questa uguaglianza passiamo in $ZZ_7$:

$4*2 -7 \equiv 1(7)$

da cui:

$4*2 \equiv 1 (7)$

o anche:

$4^(-1)\equiv 2(7)$

[kind85]

pensavo fosse + semplice. comunque grazie

[Lord K]

Di nulla.

Semplice qui è, perchè balza all'occhio che $8-7=1$ ma io ti ho specificato il caso "più generale" da seguire in casi simili.