Regola dei segni e zeri
Salve a tutti.
Mi è sorto un dubbio, un po stupido forse. Supponiamo di voler risolvere questa disequazione $x^3 - x^2 >= 0$ cioè $x^2(x - 1) >= 0$ utilizzando la regola dei segni (quella con il grafico e linee rette, per intenderci). Facendo in questo modo ho ottenuto solo l'intervallo $x>=1$, ma non l'altra soluzione $x=0$ (ottenuta invece con la regola di annullamento del prodotto, come del resto $x=1$). La mia domanda allora è: la regola dei segni di cui sopra, contiene come caso particolare la regola di annullamento del prodotto ?
Grazie
Mi è sorto un dubbio, un po stupido forse. Supponiamo di voler risolvere questa disequazione $x^3 - x^2 >= 0$ cioè $x^2(x - 1) >= 0$ utilizzando la regola dei segni (quella con il grafico e linee rette, per intenderci). Facendo in questo modo ho ottenuto solo l'intervallo $x>=1$, ma non l'altra soluzione $x=0$ (ottenuta invece con la regola di annullamento del prodotto, come del resto $x=1$). La mia domanda allora è: la regola dei segni di cui sopra, contiene come caso particolare la regola di annullamento del prodotto ?
Grazie
Risposte
definisci cosa intendi dire "la regola dei segni contiene come caso particolare la regola di annullamento del prodotto".
Secondo, si chiama legge e non regola. Non piomba dall'alto e ha un suo perché .
Essa è una proprietà particolare dei campi.
Ad esempio se $a,b in R ab=0 => a=0 vv b=0$
ciò è dovuto al fatto che $RR$ è un dominio di integrità, commutativo e dove ogni elemento di $RR$ escluso lo zero è invertibile.
Non vale ad esempio in $ZZ_6$
Prendi ad esempio $a=[2]_6,b=[3]_6$
si ha che $[2]_6*[3]_6=[6]_6=[0]_6$ pur essendo $a^^b!=0$
Tornando al tuo problema, penso che avresti fatto bene a scomporre in fattori irriducibili $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$
in questo modo hai che
$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)>=0$ con la "regola dei segni " trovi due intervalli di soluzione
$-1<=x<=0$ unito a $x>=1$
Secondo, si chiama legge e non regola. Non piomba dall'alto e ha un suo perché .
Essa è una proprietà particolare dei campi.
Ad esempio se $a,b in R ab=0 => a=0 vv b=0$
ciò è dovuto al fatto che $RR$ è un dominio di integrità, commutativo e dove ogni elemento di $RR$ escluso lo zero è invertibile.
Non vale ad esempio in $ZZ_6$
Prendi ad esempio $a=[2]_6,b=[3]_6$
si ha che $[2]_6*[3]_6=[6]_6=[0]_6$ pur essendo $a^^b!=0$
Tornando al tuo problema, penso che avresti fatto bene a scomporre in fattori irriducibili $x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$
in questo modo hai che
$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)>=0$ con la "regola dei segni " trovi due intervalli di soluzione
$-1<=x<=0$ unito a $x>=1$
Ciao! Innanzitutto grazie per aver risposto.
Intendo dire, tramite la legge dei segni, una volta individuati gli intervalli in cui il prodotto dei fattori cambia segno, è possibile risalire agli zeri di tale prodotto ? Cioè, prendendo il tuo svolgimento di $x^3 - x^2 = x(x +1)(x - 1) >= 0$, e considerando ad esempio $x=0$ ed osservando che attorno ad esso c'è una variazione di segno, si può dedurre che $x=0$ sia uno zero di tale prodotto ?
E poi non capisco perché con la mia scomposizione, e applicando la legge dei segni, non ottengo i tuoi stessi intervalli (cioè mi salta quello da $-1$ a $0$). E quindi quel ragionamento dell'annullamento fatto poco prima su $x=0$ non funziona.
"Kashaman":
definisci cosa intendi dire "la regola dei segni contiene come caso particolare la regola di annullamento del prodotto".
Intendo dire, tramite la legge dei segni, una volta individuati gli intervalli in cui il prodotto dei fattori cambia segno, è possibile risalire agli zeri di tale prodotto ? Cioè, prendendo il tuo svolgimento di $x^3 - x^2 = x(x +1)(x - 1) >= 0$, e considerando ad esempio $x=0$ ed osservando che attorno ad esso c'è una variazione di segno, si può dedurre che $x=0$ sia uno zero di tale prodotto ?
E poi non capisco perché con la mia scomposizione, e applicando la legge dei segni, non ottengo i tuoi stessi intervalli (cioè mi salta quello da $-1$ a $0$). E quindi quel ragionamento dell'annullamento fatto poco prima su $x=0$ non funziona.
perché questa
$x^2(x-1)$ non è una fattorizzazione in fattori irriducibili di $x^3-x^2$
infatti $x^2=x*x$è riducibile.
di norma si scompone il polinomio in fattori irriducibili e applica la regola dei segni. Il fatto è che nel momento in cui tu hai posto $x^2(x-1)>=0$ hai scartato tutte le soluzioni negative, e non hai tenuto conto del fatto che c'era anche un $x+1$.
da questa relazione $x(x+1)(x-1)>=0$
si deducono ovviamente gli zeri di una $f : RR-> RR , f(X)=x^3-x^2$
e sono ovviamente $x=0,x=-1,x=2$.
la $>=$ non ha propriamente a che fare con la legge di annullamento del prodotto.
Ma guardala bene.
c'è l'uguale, pertanto quando vale l'uguaglianza, uno dei tre fattori del polinomio si annulla.
$x^2(x-1)$ non è una fattorizzazione in fattori irriducibili di $x^3-x^2$
infatti $x^2=x*x$è riducibile.
di norma si scompone il polinomio in fattori irriducibili e applica la regola dei segni. Il fatto è che nel momento in cui tu hai posto $x^2(x-1)>=0$ hai scartato tutte le soluzioni negative, e non hai tenuto conto del fatto che c'era anche un $x+1$.
da questa relazione $x(x+1)(x-1)>=0$
si deducono ovviamente gli zeri di una $f : RR-> RR , f(X)=x^3-x^2$
e sono ovviamente $x=0,x=-1,x=2$.
la $>=$ non ha propriamente a che fare con la legge di annullamento del prodotto.
Ma guardala bene.
c'è l'uguale, pertanto quando vale l'uguaglianza, uno dei tre fattori del polinomio si annulla.
Comincio a capire, però con $x*x*(x-1)$ il tutto non funziona, immagino perché questa non è una fattorizzazione in fattori irriducibili. Potresti indicarmi una definizione di tale fattorizzazione ?
Mi scuso in anticipo se sto insistendo.
Mi scuso in anticipo se sto insistendo.
Ok a posto, ho trovato la definizione: http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomio_irriducibile
Quindi la scomposizione $x*x*(x-1)$ non è irriducibile.
Quindi la scomposizione $x*x*(x-1)$ non è irriducibile.
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