Regola dei segni
Come si giustifica la regola dei segni per il prodotto??
Risposte
Volendo mantenere valide le proprietà delle operazioni quando estendi i naturali passando agli interi; il solo modo è la regola dei segni.
Ma è pura semplice convenzione, o è dimostrabile o derivabile?
"elios":
Ma [la regola dei segni] è pura semplice convenzione, o è dimostrabile o derivabile?
Si dimostra come segue (da quanto mi ricordo del corso di Algebra).
Un anello ordinato è una struttura $(A,+,*,le)$, in cui $(A,+,*)$ è un anello non banale e $le$ è una relazione d'ordine totale in $A$ compatibile con le due operazioni nel senso che:
a) $AA x,y,z in A,\quad xle y => x+zle y+z$;
b) $AA t,x,y in A,\quad 0le t$ e $xle y => t*xle t*y$.
Si verifica facilmente che la parte $P:={t in A-{0_A}:\quad 0_Ale t}\subseteq A$ è non vuota ed è stabile rispetto a $+$ e $*$: essa è detta insieme degli elementi positivi di $A$. Si può provare che vale la seguente proprietà:
"Per ogni $x in A$ si verfica una ed una sola delle seguenti eventualità: $x in P$ oppure $x=0_A$ oppure $-x in P$"
detta legge di tricotomia; ponendo $P^(-):=A-({0_A}cup P)={x in A: -x in P}$, la legge di tricotomia si può enunciare anche dicendo che ${P,{0_A},P^-}$ è una partizione di $A$ ($P^-$ è detto insieme degli elementi negativi di $A$).
Proviamo la regola dei segni:
Siano $(A,+,*,le)$ un anello ordinato ed $x,y in A-{0_A}$.
Se $x,y in P$ oppure $x,y in P^-$ allora $x*y in P$; altrimenti si ha $x*y in P^-$.
Questa proprietà è banale conseguenza della stabilità di $P$ rispetto a $*$.
Se $x,y in P$, per stabilità si ha $x*y in P$; d'altra parte se $x,y in P^-$, risulta $x*y=(-x)*(-y) in P$ ancora per la stabilità.
Infine, se $x in P$ ed $y in P^-$, allora è $-(x*y)=x*(-y) in P$ quindi $x*y in P^-$; analogo ragionamento per $x in P^-$ ed $y in P$.
La regola dei segni ha due importanti conseguenze: la prima è che ogni anello ordinato è integro; la seconda è che il quadrato di ogni elemento di un anello ordinato è non negativo ($AA x in A, 0_Ale x^2$).
Spero di aver soddisfatto la tua curiosità, anche se in modo un po' rozzo.
"elios":
Come si giustifica la regola dei segni per il prodotto??
Te ne dò una giustificazione con un esempio.
Per i numeri naturali vale la proprietà distributiva:
(5+2)*3 = 3*5+2*3 = 21 = 7*3
Se la stessa proprietà si vuole che valga anche per i numeri interi (con segno) allora si vede che deve essere
(6 - 2)*3 = 6*3 + (-2)*3 = 18 + (-2)*3 =4*3 = 12, quindi (-2)*3 = -6 da cui la regola "meno per piú fa meno"
3*(6-2) = 3*6 + 3*(-2) = 18 + 3*(-2) =3*4 = 12, quindi 3*(-2) = -6 da cui la regola "piú per meno fa meno"
ed ora vediamo quella piú strana
(6-2)*(-3) = 6*(-3) + (-2)*(-3) = (per le regole precedenti) = -18 + (-2)*(-3) = 4*(-3) = (per le regole precedenti) = -12
quindi si deduce che deve essere
(-2)*(-3) = 6 da cui la regola "meno per meno fa piú".
In pratica l'idea è che la regola dei segni è, come detto da Luca.Lussardi, necessaria per estendere la validità ella proprietà distributiva. La formalizzazione per dimostrare in modo rigoroso (come fatto da gugo82) che vale la regola dei segni parte da assiomi scelti appositamente affinché la regola funzioni (la formalizzazione viene sempre dopo l'uso!
).
Quanto dice gugo82 è corretto, ma parte già dal presupposto che vuoi un anello; se vogliamo che $\ZZ$ sia un anello dobbiamo convenire nella regola sei segni. Quindi sì, la regola sei segni è una convenzione, o meglio una definizione, non un Teorema, vista limitatamente nell'ambito dei numeri interi.
"Luca.Lussardi":
Quanto dice gugo82 è corretto, ma parte già dal presupposto che vuoi un anello; se vogliamo che $\ZZ$ sia un anello dobbiamo convenire nella regola sei segni. Quindi sì, la regola sei segni è una convenzione, o meglio una definizione, non un Teorema, vista limitatamente nell'ambito dei numeri interi.
Scusa Luca, ma $ZZ$ non si costruisce prescindendo dalla relazione d'ordine?
La costruzione di $ZZ$ a partire da $NN$ mi pare coinvolga solo la struttura algebrica: infatti, si immerge il semigruppo regolare abeliano $(NN,+)$ in un gruppo abeliano che chiamiamo $(ZZ,+)$ (il sostegno del gruppo è un insieme di classi di equivalenza di coppie di numeri naturali); si definisce in $ZZ$ un prodotto in modo che sia compatibile col prodotto già definito in $NN$; si prova che $(ZZ,+,*)$ è un anello commutativo unitario.
Solo a questo punto si definisce una relazione d'ordine $le$ compatibile con le operazioni di $ZZ$ e con la relazione d'ordine in $NN$; si constata che l'insieme dei positivi in $(ZZ,+,*,le)$ è $NN$. In quest'ottica la regola dei segni diventa un teorema, o sbaglio?
Certo, se fai una costruzione di $ZZ$ a partire dalla struttura d'ordine è tutta un'altra cosa...
C'é poco da aggiungere, peró vorrei dire la mia:
Ci sono due modi per ottenere la regola dei segni, che in effetti si tratta solo di prodotti tra inversi di due elementi di un insieme che, per tradizione, sono denotati con un trattino davanti, da qui il segno, e quindi la regola dei segni.
Prendiamo questa espressione $[x + (-x)]y$, non c'é dubbio che questo prodotto valga $0$ per la proprietá di annullamento del prodotto e l'esistenza dell'inverso.
A questo punto esaminiamo quindi quest'altra espressione $xy + (-x)y$ e chiediamoci, quanto vale? la risposta é boh! e questo perché non si é definito il prodotto tra $y$ e $-x$, allora a questo punto si aprono due strade alternative, dire che il valore attribuito sia identico alla prima espressione, assumendo quindi come assioma la validitá della legge distributiva in questo caso particolare, e verificando successivamente la non contraddittorietá nel caso si considerino casi generici(questo perché non si puó partire da questa espressione $(-x)[-y + (-z)]=(-x)(-y)+ (-x)(-z)$ ad esempio per dedurre la regola dei segni, si puó solo verificarne la veridicitá dopo, cioé la non contraddittorietá), e allora di conseguenza sará vera la regola dei segni, oppure si puó accettare, sempre per convenzione, la cosiddetta regola dei segni e verificare che le due espressioni siano uguali dimostrando la validitá della legge distributiva.
1a possibilitá: assumiamo che $0=[x + (-x)]y= xy + (-x)y$ e allora, per l'unicitá dell'inverso, che si dimostra solo con gli assiomi associativo, commutativo della somma, l'esistenza dell'inverso e la chiusura dell'operazione di prodotto, si ha quindi che $-(xy) = -(x)y$
In modo analogo si dimostra che $(-x)(-y)=xy$ dando quindi un senso al prodotto $(-x)(-y)$ che altrimenti non avrebbe.
2a possibilitá: assumere vera la regola dei segni e quindi verificare in generale la legge distributiva anche nel caso che tra i fattori ci siano elementi inversi, ad esempio nel Rudin é seguita quest'ultima strada per verificare la legge distributiva nel caso dei numeri reali.
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Ci sono due modi per ottenere la regola dei segni, che in effetti si tratta solo di prodotti tra inversi di due elementi di un insieme che, per tradizione, sono denotati con un trattino davanti, da qui il segno, e quindi la regola dei segni.
Prendiamo questa espressione $[x + (-x)]y$, non c'é dubbio che questo prodotto valga $0$ per la proprietá di annullamento del prodotto e l'esistenza dell'inverso.
A questo punto esaminiamo quindi quest'altra espressione $xy + (-x)y$ e chiediamoci, quanto vale? la risposta é boh! e questo perché non si é definito il prodotto tra $y$ e $-x$, allora a questo punto si aprono due strade alternative, dire che il valore attribuito sia identico alla prima espressione, assumendo quindi come assioma la validitá della legge distributiva in questo caso particolare, e verificando successivamente la non contraddittorietá nel caso si considerino casi generici(questo perché non si puó partire da questa espressione $(-x)[-y + (-z)]=(-x)(-y)+ (-x)(-z)$ ad esempio per dedurre la regola dei segni, si puó solo verificarne la veridicitá dopo, cioé la non contraddittorietá), e allora di conseguenza sará vera la regola dei segni, oppure si puó accettare, sempre per convenzione, la cosiddetta regola dei segni e verificare che le due espressioni siano uguali dimostrando la validitá della legge distributiva.
1a possibilitá: assumiamo che $0=[x + (-x)]y= xy + (-x)y$ e allora, per l'unicitá dell'inverso, che si dimostra solo con gli assiomi associativo, commutativo della somma, l'esistenza dell'inverso e la chiusura dell'operazione di prodotto, si ha quindi che $-(xy) = -(x)y$
In modo analogo si dimostra che $(-x)(-y)=xy$ dando quindi un senso al prodotto $(-x)(-y)$ che altrimenti non avrebbe.
2a possibilitá: assumere vera la regola dei segni e quindi verificare in generale la legge distributiva anche nel caso che tra i fattori ci siano elementi inversi, ad esempio nel Rudin é seguita quest'ultima strada per verificare la legge distributiva nel caso dei numeri reali.
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"Luca.Lussardi":
Quanto dice gugo82 è corretto, ma parte già dal presupposto che vuoi un anello; se vogliamo che $\ZZ$ sia un anello dobbiamo convenire nella regola sei segni. Quindi sì, la regola sei segni è una convenzione, o meglio una definizione, non un Teorema, vista limitatamente nell'ambito dei numeri interi.
Salve Luca. Se la regola dei segni può essere intesa come una convenzione, vuol dire che in linea di principio potremmo usare una regola diversa? Anche se in tal caso dovremmo rinunciare alla proprietà distributiva del prodotto, potremmo comunque risolvere un sistema di equazioni mediante una convenzione diversa dei segni?
Se per assurdo accettassimo che meno per piú fa meno, non potremmo piú attribuire al segno negativo il significato di "opposto". Di conseguenza qualunque sistema di equazioni dotato di un significato fisico diverebbe difficile da impostare. Mi vien da pensare che la regola dei segni può essere intesa come una convenzione a livello puramente matematico, tuttavia se la regola dei segni fosse diversa non sapremmo cosa farcene dell'algebra a livello applicativo
Ad esempio se ho una forza F e scrivo -3F, laddove questo NON significasse "l'opposto di 3F" perché magari assumiamo la regola (-3)(-F)=-3F , bhé allora non saprei proprio che senso dare a quanto scritto.
Quindi cosa intendiamo esattamente per convenzione? E poi non é strano che l'unica regola dei segni in grado di verificare il principio di permanenza delle regole del calcolo sia anche l'unica a rivestire un senso logico?
[xdom="gugo82"]La vorresti smettere di spammare nel forum, dedicandoti addirittura al necroposting?
Hai aperto una discussione in Didattica, quindi non vedo perché scrivere anche qui.
Ulteriori comportamenti del genere saranno sanzionati.
Chiudo.
La discussione continua qui.[/xdom]
Hai aperto una discussione in Didattica, quindi non vedo perché scrivere anche qui.
Ulteriori comportamenti del genere saranno sanzionati.
Chiudo.
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